【正文】 的形式，如 ?????????? 211 AOOAA ， ? ? ????????????????????????121112111 AO OAAO OAAA ，再通過初等變換法 來 求 1A ， 2A 的逆矩陣 即可 。 （ 1） 證明 : AA?2 （ 2） 證明 : nAAAEB ????? ?2是可逆矩陣， 并 求 1?B 這里 E 是 n 階單位矩陣 。 那么不妨設可逆 矩 陣 P 使得 ? ? 1001 ?? PPdiagA ， ?。 顯然 B 為可逆 矩 陣，且有 廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：有關矩陣問題的解題技巧及在考研中的應用 6 ? ?AnnEPP d ia gnnEPnP d ia gB100111111111?????????????????，?? 例 4 (華中科技大學 )設 A 為 n 階方陣，若存在唯一的 n 階 方陣 B ，使得AABA? ，證明： BBAB? 。 證明 :首先證明 A 可逆，利用反證法。 于是 A 必可逆，那么對 AABA? 左乘 1?A ，右乘 B 即可得 BBAB? 。 注： ? ? ijjiij MA ??? 1 ， (其中 ijM 表示矩陣中元素 ija 的余子式 )。 有關伴隨矩陣的例子 例 1 (天津大學 )設矩陣 A 的伴隨矩陣 第二章 幾種矩陣的判定和應用 7 ?????????????????8030010100100001A ，且 EXAAXA 311 ?? ?? ，求矩陣 X 。 注意 到 A 是 4 階矩陣，有 1?? ? AAA ，而 3141 AAAAAA ??? ??? 。 在等式 12 ?? ? AA 的 兩邊取逆 ， 即有 ? ????????????????????410600202002000022 1AA ， 經(jīng)簡單計算有 ? ??????????????????? ?102400606006000063 1 AEAX 。 證明：（ 1）當 0?AB 時， 0?A 且 0?B ，由公式 ，1?? ? AAA 可得 ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ??? ABAABBABABAB 111， （ 2） 當 0?AB 時，考慮矩陣 ? ? ? ? EBBEAA ???? ???? ，由于 A 和 B 都最多只有有限個特征值，因此存在無窮多個 ? ，使 ? ? 0??A ， ? ? 0??B 。 令 ? ? ? ?? ? ? ?? ?nnijfBA ?? ? ???, ? ? ? ? ? ?? ?nnijgAB ??? ? ???。 對角矩陣 可對角化矩陣的定義 如果數(shù)域 P 上的 n 階矩陣 A 可相似于對角矩陣，則稱 A 可對角化。 n 階矩陣 A 可 對角化 的 判定方法： 第一步：求 A 的全部特征值。若 nt? ，即 A 有 n 個互異的特征值，則 A 可對角化。 若某個 ii rs? ，即對應 i? 的線性無關特征向量的個數(shù)小于 i? 的重數(shù)，則 A 不可對角化；若 ? ?tirs ii ， ?21?? ，則 A 可對角化。 注：對角矩陣 ? 的對角線元素恰好是 A 的 n 個特征值，且特征值的順序與 P 的列向量 順序保持一致。試求可逆矩陣 P ，使得 APP1? 為對角矩陣。由于 ???????????????????????????????0002011153321112 yxxyxAE 解得 22 ??? yx ， 。 設 321 ??? ， 是 A 的三個特征值 ， 由已知可知 221 ???? 。 可求得對應于特征值 221 ???? 的線性無關特征向量為 ? ? ? ?TT 101011 21 ， ??? ?? 。故可逆矩陣 ?????????????310201111P ,使得 ????????????6000200021 APP 。 解： A 的特征多項式為 ? ?? ?aaAE 31882513413112 ????????????? ??????? 。 當 2??a 時， A 的特征值為 622， ，矩陣 ????????????????3213213212 AE 的秩為 1，故 2?? 對應的線性無關的特征向量有兩個，從而 A 可 相似對角化。當 32??a 時 ,A 的特征值為 442， ，矩陣 ?????????????????13213013234 AE ， 的秩為 2 ，故 4?? 對應的線性無關的特征向量只有一個，從而 A 不可相似對角化。 解：（法 1 用配方法） A 所對應的二次型為 ? ? 322222132222121 42442 xxxxxxxxxxxf ???????? 。 令?????????33322112yzyyzyz ，即?????????33322112zyzzyzy ，得標準形 232221 42 zzzf ??? 。 故可逆矩陣?????????????100210211P ，使得 ????????????400010002APP T 。 又對應特 征值 412 321 ???? ??? ， 的特征向量分別為 ? ? ? ? ? ?TTT ppp 122212221 321 ， ?????? 。 故可逆矩陣 (實際是正交矩陣 ) ? ????????????????12221222131321 qqqP ，使得 ?????????? ??? ?4000100021 APPAPP T 。 （ 2） 求一個對稱矩陣 B 使 2BA? 。 由 ? ? 010 ?? xAE 解得一個基礎解系為 ????????????2211e， 由 ? ? 01 ?? xAE 解得一個基礎解系為 ??????????????????????10211032 ee ， 將 1e 單位化，將 2e ， 3e 先正交化后單位化，之后將這三個向量組成一個正交 矩陣為 ???????????????622232622232322031C ， 顯然有???????????1000100010ACC T 。 例 5（三峽大學） A 為正定矩陣， B 是實對稱矩陣。 廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：有關矩陣問題的解題技巧及在考研中的應用 12 （ 2）證明 AB 的特征值都是實數(shù)。 令 QP?? ，顯然 ? 可逆， ? ? ???? BQ PQPBQ PQPB TTTT ?? ， ? ? EPPEPPA Q PQPA Q PQPA TTTTTT ??????? 。 而 ? ? ? ?nTTTT d i a gBEBQABAQ ??????? ???????? ?? ， ?111 ， 所以 ? ? ? ?? ? ? ?nT QBAQBAQ ???????? ??????? ?? ?21211 。 解題技巧： 在解本題時，要用到正定矩陣和對稱矩陣的性質 。 正交矩陣的性質 （ 1）如果 A 是正交矩陣，則 1??A ； （ 2）如果 A 是正交矩陣，則 TA ， 1?A ， ?A ， kA 均是正交矩陣；而 lA 是正交矩陣的充分必要條件是 ： 1??l ； （ 3） 如果 A ,B 是 n 階正交矩陣，則 AB 也是正交矩陣； （ 4） n 階實矩陣 A 是正交矩陣 的充分必要條件是： A 的 n 個列（或行）向量是兩兩正交的單位向量。 證：因為 SA? 為滿秩矩陣，所以 ? ? nSAr ?? ， 則 SA? 可逆。代入上式得 第二章 幾種矩陣的判定和應用 13 ? ?? ?? ? ? ?? ? ESASASASA T ????? ?? 11， 故 ? ?? ? 1??? SASA 是 正交 矩 陣。 證：用反證法。 類似可知 BA? 是正交 矩 陣，故有 ? ? ? ? ABBAEBABAE TTT ?????? 2， ? ? ? ? ABBAEBABAE TTT ?????? 2， 兩式相加得 EE 42 ? 。 解題技巧：利用正交矩陣性質的（ 2）、（ 3）和正交矩陣的定義來求解。 解：因為 ? ?? ?13 ???? ??? AE ，所以 A 的特征值為 13 21 ??? ?? ， 。 ① 又因為 ? ?? ?13 ???? ??? BE ， 所以 B 的特征值為 13 21 ??? ?? ， 。 ② 根據(jù)式 ① 和 ② 得 2211 BPPAPP TT ? ，從而 ? ? ? ? BPPAPP ??? 121112 。 實對稱矩陣 實對稱矩陣的 定義 對于實矩陣 A ，若 AAT? ，則稱 A 為實對稱矩陣。 實對稱矩陣的性質 （ 1）實對稱矩陣的 特征值皆為實數(shù) ； （ 2）實對稱矩陣的不同特征值對應的特征向量必正交 ； （ 3） 實對稱矩陣可正交相似于對角矩陣，即對于任意一個 n 階實對稱矩陣 A ，都存在一個 n 階正交矩陣 Q ，使 AAT 1?? 為對角矩陣 ； （ 4）若 A 為實對稱矩陣，則存在可逆矩陣 P ，使得 APPT 也是實對稱矩陣 ； （ 5）若 A 為實對稱矩陣，則存在為實對稱矩陣 B ， 使得 2BA? （例 2）。設 t??? ， ?21 是 A 的所有互異特征值，其重數(shù)分別為 trrr ， ?21 ，且 nrrr t ???? ?21 。 第二步：當 1?ir 時，將特征向量iirii ppp ， ?21用 Schmidt 方法正交化： ? ?ijijijijiijiiiiijijijii rjpppp ， ?? 2][ ][][ ][ 1,1,1,1,111111 ?????? ???? ??? ???? ??? ， 再單位化 ? ?iijijij rjq ， ?211 ?? ??， 如果 1?ir ，直接將 1ip 單位化 得111 1 iii ppq ?。 有關 實對稱矩陣的例子 例 1 試求正交的相似 變換矩陣，化下列實對稱矩陣為對角矩陣 第二章 幾種矩陣的判定和應用 15 （ 1）???????????????333351315A ； （ 2） ???????????211121112A 。對應的特征向量分別為 ? ? ? ? ? ?TTT ppp 111011211 321 ， ????? ， （它們應是兩兩正交的）單位化得 ?????????????????? ???6261611111 ppq，????????????????????021211222 ppq，?????????????????????3131311333 ppq， 故正交矩陣?????????????????????310623121613