【正文】 mathematics three aspects of excavating the higher mathematics curriculum links with the middle school mathematics. On the other hand, introduces some knowledge of advanced algebra in the application of elementary mathematics. Such as polynomial, determinant, system of linear equations, cauchy inequality in elementary mathematics, the application of advanced algebra to establish mathematics is not a simple problem solution, but a mastery of knowledge and the development of students39。 divergent and associative thinking. In view of higher algebra to study the history of elementary mathematics for middle school mathematics teachers in the new century of high level requirements, whether teachers with high teaching point of view, is the important measure of teachers39。 Teachers have a high point of view, can from the perspective of cognition, in the knowledge of each part searches view of higher mathematics, develop the students39。因此在數(shù)與教的過程中，要學(xué)會融會貫通，靈活運用 ． 應(yīng)用于初等代數(shù)是有意義的，它使高等代數(shù)知識和方法得到一定的應(yīng)用 ． 它將使學(xué)生從中學(xué)的解題思維定勢中走出來，用一種更廣闊的眼光看初等數(shù)學(xué)問題，這才是教與學(xué)的真正目的，這對逐步把學(xué)生培養(yǎng)成一名合格的數(shù)學(xué)教師是重要的 ． 興義民族師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 2 第二章 高等代數(shù) 知識 與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系 高等數(shù)學(xué)類課程在知識上是中學(xué)數(shù)學(xué)的繼續(xù)和提高，在思想方法上是中學(xué)數(shù)學(xué)的 沿用 和擴張，在觀念上是中學(xué)數(shù)學(xué)的深化和 發(fā)展．高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)在思想方法方面的聯(lián)系主要體現(xiàn)在抽象化思想、分類思想、結(jié)構(gòu)思想、類比推理思想、公理化方法等方面．注意與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系對比不但可以降低高等代數(shù)課的學(xué)習(xí)難度，而且增強了高等代數(shù)課對培養(yǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)教師的指導(dǎo)作用． 高等代數(shù)作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科，與初等數(shù)學(xué)有很多聯(lián)系， 參考文獻 【 1】 從 數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)觀念三個方面討論 高等代數(shù)與初等數(shù)學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系． 知識方面的區(qū)別與聯(lián)系 初等數(shù)學(xué)講多項式的運算法則而高等代數(shù)在拓寬多項式的含義，嚴(yán)格定義多項式的次數(shù)及加法、乘法運算的基礎(chǔ)上，接著講多項式的整 除理論及最大公因式理論． 初等數(shù)學(xué)講一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．高等代數(shù)接著講一元 n 次方程根的定義，復(fù)數(shù)域上一元 n 次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的個數(shù)，實系數(shù)一 n 次方程根的特點，有理系數(shù)一元 n 次方程有理根的性質(zhì)及求法，一元 n 次方程根的近似解法及公式解簡介． 初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)為高等代數(shù)的數(shù)環(huán)、數(shù)域提供例子． 初等數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)的有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)、平面向量為高等代數(shù)的向量空間提供例子． 初等數(shù)學(xué) 中的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式成為高等代數(shù)中坐標(biāo)變換公式的例子． 初等 幾何學(xué)習(xí)的向量的長度和夾角為歐氏空間向量的長度和夾角提供模型，三角形不等式為歐氏空間中 2 點間距離的性質(zhì)提供模型，線段在平面上的投影為歐氏空間中向量在子空間的投影提供模型．綜上所述可知，高等代數(shù)在知識上的確是中學(xué)數(shù)學(xué)的繼續(xù)和提高．它不但解釋了許多中學(xué)數(shù)學(xué)未能說清楚的問題 ，如多項式的根及因式分解理論、線性方程組理論等，而且以整數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)、平面向量為實例，引入了數(shù)環(huán)、數(shù)域、向量空間、歐氏空間等代數(shù)系統(tǒng)．這對用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點、原理和方法指導(dǎo) 初等數(shù)學(xué) 教學(xué)是十分有用的． 思想方法方面的區(qū)別與聯(lián)系 內(nèi)容 初等數(shù)學(xué) 高等代數(shù) 興義民族師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 3 抽象化思想 小學(xué)從具體事物的數(shù)量中抽象出數(shù)字，開創(chuàng)了算術(shù)運算的時期．中學(xué)用字母表示數(shù)，開創(chuàng)了在一般形式下研究數(shù)、式、方程的時期． 用字母表示多項式、矩陣，開始研究具體的代數(shù)系統(tǒng)，進而又用字母表示滿足一定公理體系的抽象元素，開始研究抽象的代數(shù)系統(tǒng) —向量 空間、歐氏空間． 化歸思想 化無理方程為有理方程，化分式方程為整式方程，化三元一次方程組為二元一次方程組直至一元一次方程，通過化歸矩形推導(dǎo)平行四邊形面積公式，這些都用到化歸思想． 在通過按行按列展開，將階數(shù)較高的行列式化為階數(shù)較低的行列式；通過選定基，將向量之間的 關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)之間的關(guān)系，將線性變換的研究轉(zhuǎn)化為矩陣的研究 ． 分類思想 中學(xué)按概念對研究的對象分類． 高等代數(shù)除按概念分類，按元素間的等價關(guān)系分類，利用向量空間的同構(gòu)關(guān)系對向量空間、歐氏空間按維數(shù)分類，等等． 結(jié)構(gòu)思想 現(xiàn)代數(shù)學(xué) 通過 3種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)將數(shù)學(xué)各分支聯(lián)系成一個整體．中學(xué)數(shù)學(xué)與高等代數(shù)都用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點和語言組織教材． 從負(fù)數(shù)到負(fù)多項式、負(fù)矩陣再到負(fù)元素，從數(shù)的運算律到集合、多項式、矩陣的運算律再到代數(shù)系統(tǒng)的運算律． 類比推理思想 在中學(xué)數(shù)學(xué)中，由分?jǐn)?shù)的性質(zhì)類比推理分式的性質(zhì)；由 2 直線的位置關(guān)系類比推理 2平面的位置關(guān)系；由直角三角形的勾股定理類比推理具有 3直角頂點四面體的勾股定理． 由整數(shù)整除理論類比推理數(shù)域F 上的多項式的整除理論；由直角坐標(biāo)系下，幾何向量的長度、夾角、內(nèi)積、距離公式類比推理規(guī)范正交基下， n 維歐氏空間中向 量的長度、夾角、內(nèi)積、距離公式． 嚴(yán)格的邏輯推理方法 中學(xué)數(shù)學(xué)中嚴(yán)格的定義較少，定理和習(xí)題的推理過程較短，幾何問題的推導(dǎo)還常常借助直觀圖形． 首先給出嚴(yán)格的定義，然后從定義出發(fā)，通過嚴(yán)密的邏輯推理，得出性質(zhì)、定理、推論，直至建立完整的理論體系． 公理化方法 中學(xué)平面幾何將利用直覺經(jīng)驗不證自明的少數(shù)命題和推導(dǎo)原則作為公理，由此出發(fā)推證出大量新的命題，這已用到實質(zhì)公理化方由實質(zhì)公理化方法到形式公理化方法體現(xiàn)了公理化方法的發(fā)展． 興義民族師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 4 法． 坐標(biāo)方法 中學(xué)數(shù)學(xué)通過數(shù)軸建立了直線上點的坐標(biāo)，通過平面坐標(biāo)系建立了平面上點的坐標(biāo)． 通過向量空間的基建立了向量空間中各種向量的坐標(biāo)，推導(dǎo)出了向量和及向量數(shù)乘的坐標(biāo)計算公式，證明了坐標(biāo)變換公式． 變換方法 中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)過線性方程組的同解變換． 將這些同解變換轉(zhuǎn)換成矩陣的初等變換，由此得到一種用途廣泛的解題方法矩陣的初等變換法． 構(gòu)造性方法 高等代數(shù)與中學(xué)代數(shù)雖然在知識深度上有較大差異，但產(chǎn)生知識的思想方法卻是一脈相承的．只是由于中學(xué)數(shù)學(xué)的知識較淺，內(nèi)容較窄，對思想方法的巨大作用體現(xiàn)不深而已．通過學(xué)習(xí)高等代數(shù)等近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程， 從而 深刻地認(rèn)識到 數(shù)學(xué)思想方法在揭示數(shù)學(xué)知 識的內(nèi)在聯(lián)系 ，學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的自覺性大大增強．而這種自覺性對于當(dāng)前提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量恰恰是最為重要的． 觀念方面的區(qū)別與聯(lián)系 在 初等數(shù)學(xué) 中初步萌生的若干數(shù)學(xué)觀念，包括數(shù)學(xué)研究的對象，數(shù)學(xué)研究的特點等，在高等代數(shù)中將得到深化和發(fā)展．關(guān)于數(shù)學(xué)研究的對象，由 初等數(shù)學(xué) 研究的數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)等內(nèi)容， 初等 幾何研究的點、線、面、常見圖形等內(nèi)容，不難看出：數(shù)學(xué)研究的對象是現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式．然而這個觀念在高等代數(shù)等后繼課程中卻不斷受到?jīng)_擊．首先，集合的包含關(guān)系，多項式的整除關(guān)系，向量的線性 關(guān)系，矩陣的等價、相似、合同關(guān)系已不再是傳統(tǒng)意義下的數(shù)量關(guān)系．其次，向量空間、歐氏空間也不再局限于有直觀意義的空間形式．高等代數(shù)等近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程都說明：數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用抽象量化方法研究關(guān)系、結(jié)構(gòu)、模式的科學(xué)．這一新的觀念對于指導(dǎo)中學(xué)教改是至關(guān)重要的．關(guān)于數(shù)學(xué)研究的特點，人們普遍認(rèn)為是抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性，然而僅從中學(xué)數(shù)學(xué)是很難深刻體會到這些特點的．首先看抽象性．中學(xué)數(shù)學(xué)中，從用字母表示數(shù)，諸多數(shù)學(xué)概念的形成已使學(xué)生初步體會到抽象的含義和作用．但是對數(shù)學(xué)科學(xué)如何借助于抽象而不斷發(fā)展卻知之甚微，通過高等 代數(shù)等后繼課程的學(xué)習(xí)，這樣的例子就漸漸多了起來． 興義民族師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 5 第 三 章 多項式 理論 在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 去重因式分解多項式 引理 【 2】 若一個多項式 ()fx有重因式，比如 120 1 2( ) ( ) ( ) ( )kk knf x a p x p x p x? ( 1, 1,iik i k? ? ?使 ( ) 1 , 2 , )ip x F i n?在 數(shù) 域 上 不 可 約 ，則可求 ()fx與 39。當(dāng)然就降低了分解的難度． 例 求多項式 5 3 2( ) 10 20 15 4f x x x x x? ? ? ? ?在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式． 解 ： 39。 3 2( ( ) , ( ) ) 3 3 1f x f x x x x? ? ? ? 得 39。3( ( ), ( )) ( 1) ,f x f x x??由重因式定理， 1x? 是 ()fx的 4 重因式， 所以 4( ) ( 1) ( 4)f x x x? ? ?． 利用因數(shù)定理分解多項式 引理 【 3】 xc? 是 ()fx的因式的充分必要條件是 ()fc =0 亦