【正文】 值滿足一個(gè)多項(xiàng)式方程，如果一個(gè)值不滿足這個(gè)式子的時(shí)候，aEA當(dāng)然可逆了.，但是滿足這個(gè)式子的一個(gè)數(shù)值不一定就是這個(gè)矩陣的特征值。）根源是，是特征值就滿足上面的形式的aEA行列式為零，不是特征值就可逆，至于其他條件，那是推出是不是特征值的條件的。但是一點(diǎn)要非常的注意，是因?yàn)锳滿足的多項(xiàng)式推出的特征值滿足的多項(xiàng)式方程，不是代表解都是這個(gè)矩陣的特征值，但是可以知道特征值就是這里面的數(shù)值，至于重復(fù)幾個(gè)，多少重復(fù)都是不知道的。根源是，是特征值所以，當(dāng)一個(gè)值滿足特征值的某個(gè)多項(xiàng)式方程，并不能說明aEA就一定不可逆，（它不一定是其特征值）已經(jīng)知道特征值，和特征向量求矩陣問題：不從對(duì)角化出發(fā)，而直接從定義出發(fā)（不過實(shí)質(zhì)上原理是一樣的），N階的，有N個(gè)特征值（每個(gè)至少一個(gè)特征向量，如果正好），那么就寫出對(duì)應(yīng)的等式，再轉(zhuǎn)化乘矩陣，就可以乘出來矩陣了。）（同時(shí)這也是AP=PC的一種方式）當(dāng)然矩陣的特征向量是很多的，那些基礎(chǔ)解系的解都是其特征向量，（從方程的思維），但是不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量之間的線性組合不是其特征向量，而同一個(gè)特征值之間的任意的特征向量的線性組合都是其這個(gè)特征值的特征向量，（可以根據(jù)定義加和可得）是不是其特征值，只要滿足特征方程那個(gè)式子就行。充分利用這個(gè)特征方程。如，正交矩陣（行列式為1或1），如果為1，那么一定有特征值1.A,B都是方陣，AB與BA的關(guān)系，一定是行列式一樣（能說明特征值的乘積一樣），根據(jù)行列式的性質(zhì)（分別相乘）有個(gè)重要的特征，這兩個(gè)矩陣有同樣的特征值，（證明的用定義，當(dāng)然特征值一樣，特征向量可以不一樣的，正如書上的轉(zhuǎn)置了，特征值一樣，但是特征向量不同，要學(xué)會(huì)對(duì)比證明的方式，A的特征向量是A多項(xiàng)式的，但是不是說一樣，因?yàn)榉催^來不一定是的。從行列式的角度來看：從行列式的性質(zhì)：兩個(gè)矩陣的乘積的行列式等于這兩個(gè)矩陣（要保證這兩個(gè)分開的矩陣是方陣，否則不行）各自行列式的乘積。如：相似問題，（學(xué)會(huì)代入法利用已知條件，和同乘一個(gè)矩陣的方法。這些是推出那些行列式（還可以用行列式的性質(zhì)，等于各個(gè)矩陣的行列式的乘積（也要求方陣）），秩和可逆不可逆的等價(jià)了，但是這個(gè)沒法推出另外的相似（因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣特征值相等才推出相似才是充要條件）但是，AB兩個(gè)矩陣相似，：：可以推出各自的M次方也是相似的，同時(shí)aEA同aEA也是相似的A和B的逆（當(dāng)然需要可逆）也相似。雖然A轉(zhuǎn)置和A的特征值一樣（證明的途徑不是一定要代進(jìn)去的，可以變換形式來考慮），但是特征向量很不相同，但是AB相似，特征向量又緊密的聯(lián)系的。（可以證明的）那么這里面的P 之間還有關(guān)系的?！篈O』 『CO』『OC』 『OD』如果A相似于B，C相似于D，那么這兩個(gè)分塊矩陣形式的也相似。反過來思考，作為一個(gè)矩陣提供了一種思路。（在視頻的相似里面那個(gè)）（怎么證明：用行列式性質(zhì)可以說明一點(diǎn)，行列式為零不為零是不改變的，因?yàn)槌醯茸儞Q不改變行列式的秩？，而初等變換相當(dāng)于乘個(gè)矩陣，而可逆矩陣之所以可逆的一個(gè)充要條件是等于多個(gè)初等矩陣的乘積。問，特征值一樣，就不一定相似嗎？不是。對(duì)角化問題：當(dāng)一個(gè)矩陣能夠?qū)腔喈?dāng)相似于一個(gè)對(duì)角矩陣（實(shí)對(duì)稱矩陣了，用二次型里面的變化，這個(gè)對(duì)角矩陣就合同與單位矩陣。這是正交矩陣的性質(zhì)，因?yàn)槎xAAT=E而AA1=E））和單位矩陣相似的只有它自己，和數(shù)量矩陣相似的只有它自己。）但是和單位矩陣合同的就很多了，只要實(shí)對(duì)稱矩陣正慣性指數(shù)等于N就行！實(shí)對(duì)稱矩陣必可以對(duì)角化。對(duì)角化要求這個(gè)矩陣有N個(gè)線性無關(guān)的向量，而這個(gè)向量組成矩陣就是U，正好說明U可逆。就是B的特征向量乘以存在的那個(gè)矩陣的逆矩陣。但是并不是說一個(gè)矩陣?yán)锶我釸（個(gè)數(shù)等同于線性無關(guān)組的個(gè)數(shù)）線性組就不相關(guān)。當(dāng)然即使線性表出的這些解中，并不是都相關(guān)的，只是說拿出任意一個(gè)和原來這些給出的解是線性相關(guān)的了）。作為其中的一個(gè)，但是寫其他的也行的，只要滿足不相關(guān)就行，）矩陣對(duì)角化要求有N個(gè)不相關(guān)（之所以不相關(guān)是因?yàn)閁要求可逆的原因）的特征向量（相當(dāng)于是那些特征值的滿足aEA行列式為零的解的），當(dāng)然是每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)一個(gè)了，如果重根就對(duì)應(yīng)重根的個(gè)數(shù)，可以證明當(dāng)相似時(shí)，aiEA對(duì)應(yīng)的每個(gè)特征值的秩就是特征向量基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)。反之錯(cuò)所謂的特征值和特征向量對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)是指的是，當(dāng)U（就是使相似的那個(gè)可逆矩陣）的組成特征向量組成的，它的順序怎么排，那么對(duì)應(yīng)的對(duì)角化的矩陣就是對(duì)角線上的特征值對(duì)應(yīng)U的列向量的對(duì)應(yīng)的順序。不要看錯(cuò)了。）U的求法，就是特征向量，不相關(guān)的特征向量。而且同一個(gè)特征值不相關(guān)的特征向量，加入上面那些特征向量中，仍然是不相關(guān)的。從那個(gè)特征方程中可以知道每個(gè)特征值帶入可以使aEA，的秩小于N的，但是沒法說明到底是等于幾的，所以，能證明那個(gè)對(duì)角化的充要條件的等式才可以對(duì)角化的，不等于是不可以對(duì)角化的學(xué)會(huì)向量的乘法，見（特征值與特征向量那講，一個(gè)例題，用向量表示的例題）當(dāng)知道幾個(gè)向量不相關(guān)時(shí)，如果知道每個(gè)向量的行數(shù)等于這幾個(gè)向量的個(gè)數(shù)，就要想到組成的矩陣是可逆的。注意：告訴U1AU＝B，B不一定是對(duì)角矩陣，但是可以說A與B相似，當(dāng)然如果A相似與一個(gè)對(duì)角矩陣，則B也相似，但是他們不一定能夠相似與對(duì)角矩陣（也就是對(duì)角化）如果想求A的對(duì)角化的那個(gè)C，可以通過求出B對(duì)角化的那個(gè)可逆矩陣P，則C=UP（通過定義）注意連環(huán)相似的各個(gè)可逆矩陣的關(guān)系。（這里是整體不相關(guān)的，不是量量不相關(guān)就行的）再加上不同特征值的特征向量也是不相關(guān)的。但是特征向量可以有很多，整體不相關(guān)的向量組的個(gè)數(shù)只有NR的，但是可以存在大于個(gè)數(shù)的向量，使他們兩兩不相關(guān)，（但整體一定相關(guān)的，因?yàn)榭梢跃€性表出）但是也并不是隨便的就都不相關(guān)的。所以也可以知道要正交，相互正交向量的個(gè)數(shù)一定小于維度。（證明的方法也可以這樣的證明，設(shè)矩陣A等于向量組，用ATA等于一個(gè)個(gè)數(shù)為S（為向量組個(gè)數(shù)）的方陣，因?yàn)閞(AB)小于等于A和B的秩的最小值？？？（書上？））所以A的秩為S，所以線性無關(guān)。但是向量組的秩定義是極大無關(guān)組的個(gè)數(shù)。向量的內(nèi)積：還有性質(zhì)的。向量正交（內(nèi)積為零）就是幾何上的垂直。在表達(dá)向量的內(nèi)積的時(shí)候ATB(這里A和B假設(shè)為向量)表達(dá)方式（保證一行一列），然而向量?jī)?nèi)的元素是數(shù)字，還有在表大矩陣的內(nèi)積時(shí)，可以看做是有S個(gè)向量元素的矩陣，它的也是ATB,否則表達(dá)的就是不一樣了。相乘后就是對(duì)稱矩陣的，（看對(duì)應(yīng)的位置相等的，對(duì)角線上就是向量的內(nèi)積）正好可以驗(yàn)證ATA是對(duì)稱矩陣的。正交矩陣：（當(dāng)然根據(jù)內(nèi)積的方法，不是方陣的矩陣也可以是轉(zhuǎn)置和其相乘等于E）當(dāng)然，如果A是N階，ATA（為實(shí)對(duì)稱矩陣，可以用定義證明，也可以用內(nèi)積證明）＝AAT的，同時(shí)列向量之間是正交的，而且每個(gè)向量是單位向量，就是A正交矩陣的了。（向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)）同時(shí)可以利用A的逆等于A的轉(zhuǎn)置。正交矩陣的充要條件是（N維向量個(gè)數(shù)等于維度的前提）行向量（因?yàn)檫@里ATA＝AAT）和列向量都是單位正交向量組。AT也是正交的。于對(duì)角化的矩陣的那么根聯(lián)系，可以看出一些東西。矩陣AB的很多性質(zhì)：A,B都可逆，則AB也可逆，A,B，都正交矩陣則AB也正交矩陣（反之不行），施密特正交法：（為什么基礎(chǔ)解系經(jīng)過這個(gè)畫法后還是基礎(chǔ)解系？）（就是利用正交矩陣的性質(zhì)，把其中列向量給正交化的就可以說明是正交矩陣了）相當(dāng)于物理里面的把各個(gè)方向的力給分解乘相互垂直的力，所以先第一個(gè)確定一個(gè)方向，第二個(gè)向量分解乘一部分是沿著第一個(gè)向量的方向，第二個(gè)是垂直于第一個(gè)的方向的，（同時(shí)注意向量的加減法原理同力一樣，平行四邊形法，當(dāng)然畫圖可以看見就相當(dāng)于垂直分解的向量的坐標(biāo)的加減的）所以，第二個(gè)方向的向量等于這個(gè)向量減去在第一個(gè)方向上的分量，不知道是多少，就用一個(gè)系數(shù)乘第一個(gè)方向向量來表示，剩下的就是第二哥方向的向量，根據(jù)正交可以求出這個(gè)系數(shù)。正交化求出的只是滿足正交，再單位化就可以了。基礎(chǔ)解系問題：假如a1，a2，a3（（（因字不好打，暫說明為向量），為一個(gè)基礎(chǔ)解系，那么另外還可以怎么用這三個(gè)向量表示，需要滿足什么條件？首先基礎(chǔ)解系是線性無關(guān)的，個(gè)數(shù)就是這么多，其他的解都可以用這三個(gè)向量來線性表示（所以也不是任意的向量都是其解的），所以再找基礎(chǔ)解系，一個(gè)滿足無關(guān)，個(gè)數(shù)一樣，另外一個(gè)要能為這個(gè)向量組線性表出。那如果一個(gè)無關(guān)組可以由另外的無關(guān)組線性表出，那么，這兩個(gè)等價(jià)嗎？實(shí)對(duì)稱矩陣：對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣，每一個(gè)特征值重?cái)?shù)的個(gè)數(shù)等于特征方程的秩（能對(duì)角化的矩陣都是的）還說存在一個(gè)正交矩陣使之對(duì)角化，當(dāng)然，首先我們知道對(duì)于任意的矩陣只要滿足條件都可以對(duì)角化，那矩陣的能對(duì)角化的可逆矩陣是那些特征向量組成的。因?yàn)檫@里特征向量里面，只有不同特征值的特征向量是正交的，（只所以要求對(duì)稱是因?yàn)樽C明的過程中用到對(duì)稱的轉(zhuǎn)置等于原來的這個(gè)性質(zhì)），同一個(gè)特征值的特征向量是不一定正交的，但是一定不相關(guān)，而且也不一定是單位向量的，當(dāng)然施密特正交化后，可以得到正交矩陣的，這里形成的對(duì)角矩陣和不正叫化后的矩陣有什么區(qū)別？？沒有什么區(qū)別的，都是特征值組成的對(duì)角矩陣。（例子第五講例八，和書上對(duì)比）單位化后的向量仍然是特征向量。證明線性無關(guān)的問題：1. 正交矩陣的任何向量組都是線性無關(guān)的，2. 齊次方程組的解沒有非零解3. 矩陣的秩是N（r（A,B）＝r(A)充要條件是B能被A線性表出，解釋：因?yàn)榧热幌喈?dāng)，相當(dāng)于A，B的極大無關(guān)組個(gè)數(shù)等于A的極大無關(guān)組個(gè)數(shù)，根據(jù)下面線性表出問題，可以得到解釋？？？一般情況下，r（A,B）＞＝r(A），當(dāng)B不能為A線性表出的時(shí)候，是大于號(hào)，能，是等于號(hào)。如果（a1,a2,a3）可逆，那么秩決定于C5. 反證法6. 定義證7. 極大無關(guān)組8. 利用看里面是不是有個(gè)別向量可以成為其他的線性表出。線性問題和方程組的結(jié)合。線性表出沒有說一定是非零解，而特征向量一定是非零向量，但是線性相關(guān)一定要非零系數(shù)……線性表出的問題：根據(jù)極大無關(guān)組的定義，任一向向量都可以表示為極大無關(guān)組的線性組合，那么相當(dāng)于說明任何一個(gè)向量都可以表示成包含向量組在內(nèi)的向量組的線性組合。）一個(gè)向量組線性相關(guān)，不是代表里面每個(gè)都可以表示成為其他向量組的線性組合，就象開始極大無關(guān)，加入一個(gè)就相關(guān)了，只能說可以任意的可以線性表出為極大無關(guān)組的線性組合。當(dāng)一個(gè)線性無關(guān)的組秩為N，加入一個(gè)后也許還是不相關(guān)，比較，N維的，N個(gè)向量組，那么任意的都可以表示成之行向量線性相關(guān)不等同于列向量線性相關(guān)，只是說行秩等同于列秩，即個(gè)數(shù)相等。）（但是注意如果列向量為單位正交向量組，那么也可以說明行向量也是單位正交向量組。）只要不是零矩陣，秩一定大于零。什么時(shí)候取等號(hào)？對(duì)于AB＝0的問題：如果存在一個(gè)非零矩陣的B能滿足這個(gè)式子，（假如A為方陣）則A的行列式一定為零，（假如不為零，則B的秩等于0的秩，那么錯(cuò)了。對(duì)于AB的秩的問題：R(A)+R(B)=R(AB)+ A的列數(shù)。（同時(shí)也說明了不是任何矩陣都能表示成兩個(gè)向量的）但是向量組就不是這樣了。求一個(gè)A的K次方，可以用對(duì)角化的公式。對(duì)于選擇題可以用特殊值法。求一個(gè)A多項(xiàng)式逆，2。方法：可以用定義，化簡(jiǎn)成AB=E的形式，關(guān)鍵找到乘積的形式和E。任意兩個(gè)矩陣之間的關(guān)系：存在合同，對(duì)角化，相似，特征值相等，逆，轉(zhuǎn)置，秩相等……許多關(guān)系的，那么要明確這些關(guān)系要求的條件。什么是非奇異矩陣？分塊矩陣的計(jì)算：特征值的問題：關(guān)于分塊矩陣的研究：行列式：如果一個(gè)矩陣可以表示成兩個(gè)向量的乘積，那么，這個(gè)矩陣秩為1。正同幾何里面的向量關(guān)系可以理解。注意，向量的線性表出與矩陣的乘法和方程組有很大關(guān)系，甚至可以說是一個(gè)原理，有很大的關(guān)系，如果一個(gè)向量可以用一個(gè)向量組線性表出，則AX＝B,有解（因?yàn)檫@里沒有考慮非零的問題，不像線性無關(guān)要求非零解。這AB可以用A的列向量線性表出和B的行向量線性表出的一個(gè)很好的解釋）如果一個(gè)向量組可以用一個(gè)線性用一個(gè)向量組線性表出，那么AB=C是一樣的道理，也就是能找到一個(gè)矩陣B滿足這個(gè)式子的，（當(dāng)然這是先知道A，C而問B的存在的，不是說兩個(gè)矩陣相乘當(dāng)然也會(huì)產(chǎn)生一個(gè)矩陣了）（但是記住即使存在這么一個(gè)式子他們的秩和A和B的秩不一定就是相等的，也就是線性無關(guān)的問題不一定能說明什么，但是如果說給了某些條件，那么也許會(huì)推出一些結(jié)論的）。當(dāng)然這正是上面也提到了(b1,b2,b3）=(a1+2a2+3a3,4a2+5a3,6a4）可以看成一個(gè)矩陣，同時(shí)可以看成（a1,a2,a3）乘一個(gè)數(shù)字矩陣的應(yīng)用。（注意，也可以AB與秩的問題，那個(gè)不等式問題共同研究，注意，AB可以用A的列向量線性表出和B的行向量線性表出）所以要研究列向量之間的關(guān)系，就是要找B，找X，所以位置也要搞清楚。從一般的思維出發(fā)也可以，從矩陣的乘積出發(fā)也可以。注意，這是一種角度，另外一種也是角度，要學(xué)會(huì)兩種角度思考問題。定義的好處：，如果是一個(gè)非零向量，那么本身線性無關(guān)，如果是一個(gè)零向量本