【正文】
ns i ns i n ??? 為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們?cè)谏厦? 向量等式的兩邊同取與向量 j 的數(shù)量積運(yùn)算,得到: 證明方法 3: 在鈍角三角形中,怎樣將三角形的邊用向量表示?怎樣引 入單位向量?怎樣取數(shù)量積? j A C B 在鈍角 中, 過(guò) A作單位向量 j 垂直于 , ACABC?則有 j 與 的夾角為 , j 與 的夾角為 . 等式 . ?90?A CBC??90 ABCBAC ??AB同樣可證得: CcBbAa s i ns i ns i n ?? 想一想: 正弦定理還有沒(méi)有其它的方法證明? 證明: ∵ BacAbcCabS ABC s i n21s i n21s i n21 ????B A C D a b c aA B C ahS 21??而 CbBcADh a s i ns i n ????∴ CabBacS ABC s i n21s i n21 ???同理 ∴ BacAbcCabS ABC s i n21s i n21s i n21 ????ha AbcS A B C s i n21??證法 3: 剖析定理、加深理解 正弦定理可以解決三角形中哪類問(wèn)題: ① 已知 兩角和一邊 ,求其他角和 邊 . ② 已知 兩邊和其中一邊的對(duì)角 ,求另一邊 的對(duì)角,進(jìn)而可求其他的邊和角 . CcBbAas i ns i ns i n??正弦定理: CcBbAas i ns i ns i n ??在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即 注意: ( 1) 正弦定理適合于任何三角形 . ( 2) ( R為 △ ABC外接圓半徑 ) ( 3) 每個(gè)等式可視為一個(gè)方程:知三求一 . .2s i ns i ns i n RCcBbAa ???A B C 例 1 在△ ABC中,已知 A= 176。正弦定理 A B C3 C2 C1 C BC的長(zhǎng)度與角 A的大小有關(guān)嗎 ? 三角形中角 A與它的對(duì)邊 BC的長(zhǎng)度是否存在定量 關(guān)系 ? 在 Rt△ ABC中 ,各角與其對(duì)邊的關(guān)系 : caA ?s incbB ?s in1sin ?C不難得到 : CcBbAas i ns i ns i n?? C B A a b c ? cc在非直角三角形 ABC中有這樣的關(guān)系嗎 ? A c b a C B 正弦定理 : 在一個(gè)三角形中 ,各邊和它所對(duì)角的 正弦的比相等 . CcBbAas i ns i ns i n??即 (1) 若直角三角形 ,已證得結(jié)論成立 . bADcAD CB ?? s i n,s i n所以 AD=csinB=bsinC, 即 ,s ins in CcBb ?同理可得 ,s ins in CcAa ?CcBbAas i ns i ns i n ??即:D A c b C B 圖 1 過(guò)點(diǎn) A作 AD⊥ BC于 D, 此時(shí)有 證法 1: (2)若三角形是銳角三角形 , 如圖 1, 由 (1)(2)(3)知,結(jié)論成立. CC bAD s i ns i n ???