binaaablack-scholes期權(quán)定價(jià)模型-展示頁(yè)
2024-08-19 10:37本頁(yè)面
【正文】 與未來(lái)的預(yù)測(cè)無(wú)關(guān)。 ? 很顯然，這是一個(gè)漂移率為 μ S、方差率為 σ 2S2的伊藤過(guò)程。 ? 基本假設(shè)：證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過(guò)程： ? 其中， S表示證券價(jià)格， μ表示證券在單位時(shí)間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率（又稱(chēng)預(yù)期收益率）☆， σ 2 表示證券收益率單位時(shí)間的方差， σ 表示證券收益率單位時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差，簡(jiǎn)稱(chēng)證券價(jià)格的波動(dòng)率（ Volatility）☆， dz表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。 ? Ito引理 ? 若變量 x遵循伊藤過(guò)程，則變量 x和 t的函數(shù) G將遵循如下過(guò)程： 其中， dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。 ? 可以發(fā)現(xiàn)，任意時(shí)間長(zhǎng)度后， x值的變化都具有正態(tài)分布特征，其均值為 aT，標(biāo)準(zhǔn)差為 ,方差為 b2T. d x a d t b d z??b T2022/8/21 8 Ito過(guò)程和 Ito引理 ? 伊藤過(guò)程（ Ito Process）： ? 普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量 x的漂移率和方差率當(dāng)作變量 x和時(shí)間 t的函數(shù)，我們就得到 其中， dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)， a、 b是變量 x和 t的函數(shù)，變量 x的漂移率為 a，方差率為 b2， 都隨時(shí)間變化。第二項(xiàng) bdz是隨機(jī)項(xiàng)，它表明對(duì) x的動(dòng)態(tài)過(guò)程添加的噪音。 ? 這個(gè)過(guò)程指出變量 x關(guān)于時(shí)間和 dz的動(dòng)態(tài)過(guò)程。 ? 這里的 a為漂移率（ Drift Rate），是指單位時(shí)間內(nèi)變量 z均值的變化值。這樣定義可以使方差與時(shí)間長(zhǎng)度成比例，不受時(shí)間劃分方法的影響。 ? 很顯然，這是 n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的和： ? 因此， z（ T） z（ 0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為 0，方差為 N Δ t =T，標(biāo)準(zhǔn)差為 。z N t t? ? ?方差為 。 ? 特征的理解 ? 特征 1： ? 特征 2: 馬爾可夫過(guò)程：只有變量的當(dāng)前值才與未來(lái)的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過(guò)去的歷史和變量從過(guò)去到現(xiàn)在的演變方式與未來(lái)的預(yù)測(cè)無(wú)關(guān)。 ? 設(shè) Δ t代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度， Δ z代表變量 z在 Δ t時(shí)間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的 Δ z具有兩種特征： ? 特征 1： ? 其中， ε 代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為 0、標(biāo)準(zhǔn)差為 布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。 2022/8/21 4 隨機(jī)過(guò)程 ? 隨機(jī)過(guò)程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化的過(guò)程。需要了解其所遵循的隨機(jī)過(guò)程。 2022/8/21 3 為什么要研究證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過(guò)程 ? ? 期權(quán)是衍生工具，使用的是相對(duì)定價(jià)法，即相對(duì)于 證券價(jià)格的價(jià)格，因此要為期權(quán)定價(jià)首先必須研究證券價(jià)格。從而得到一個(gè)重要的方程： BlackScholes微分方程。而數(shù)學(xué)家Ito發(fā)現(xiàn)的 Ito引理可以從股票價(jià)格的 Ito過(guò)程推導(dǎo)出衍生證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過(guò)程。因此，期權(quán)價(jià)格變化也是一個(gè)相應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程。2022/8/21 1 第 六 章 BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型 2022/8/21 2 BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型的基本思路 ? 期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價(jià)格波動(dòng)的來(lái)源就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化，期權(quán)價(jià)格受到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的影響。 ? 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化過(guò)程是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。 ? 金融學(xué)家發(fā)現(xiàn)，股票價(jià)格的變化可以用 Ito過(guò)程來(lái)描述。 ? 在股票價(jià)格遵循的隨機(jī)過(guò)程和衍生證券價(jià)格遵循的隨機(jī)過(guò)程中， BlackScholes發(fā)現(xiàn)，由于它們都只受到同一種不確定性的影響，如果通過(guò)買(mǎi)入和賣(mài)空一定數(shù)量的衍生證券和標(biāo)的證券，建立一定的組合，可以消除這個(gè)不確定性，從而使整個(gè)組合只獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。 ? 求解這一方程，就得到了期權(quán)價(jià)格的解析解。 ? 期權(quán)的價(jià)值正是來(lái)源于簽訂合約時(shí)，未來(lái)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與合約執(zhí)行價(jià)格之間的預(yù)期差異變化，在現(xiàn)實(shí)中，資產(chǎn)價(jià)格總是隨機(jī)變化的。 ? 研究變量運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)過(guò)程，可以幫助我們了解在特定時(shí)刻，變量取值的概率分布情況。 ? 隨機(jī)過(guò)程的分類(lèi) ? 離散時(shí)間、離散變量 ? 離散時(shí)間、連續(xù)變量 ? 連續(xù)時(shí)間、離散變量 ? 連續(xù)時(shí)間、連續(xù)變量 2022/8/21 5 幾種隨機(jī)過(guò)程 ? 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（維納過(guò)程 ） ? 起源于物理學(xué)中對(duì)完全浸沒(méi)于液體或氣體中，處于大量微小分子撞擊下的的小粒子運(yùn)動(dòng)的描述。 ? 特征 2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔 Δ t ， Δ z的值相互獨(dú)立。 zt?? ? ?? ?0 , 。2022/8/21 6 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（續(xù)） ? 考察變量 z在一段較長(zhǎng)時(shí)間 T中的變化情形： ? z（ T）－ z(0)表示變量 z在 T中的變化量 ? 又可被看作是在 N個(gè)長(zhǎng)度為的小時(shí)間間隔中 z的變化總量，其中N=T/ Δ t 。 ? 為何定義為： ? 當(dāng)我們需要考察任意時(shí)間長(zhǎng)度間隔中的變量變化的情況時(shí)，獨(dú)立的正態(tài)分布，期望值和方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。 ? 相應(yīng)的一個(gè)結(jié)果就是：標(biāo)準(zhǔn)差的單位變?yōu)? ? 連續(xù)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)： ? 當(dāng) Δ t ?0時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) 1( ) (0 ) N iiz T z t??? ? ??Ttz t z??? ? ? ? ? ?而非年d z d t??2022/8/21 7 普通布朗運(yùn)動(dòng) ? 變量 x遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)： ? 其中， a和 b均為常數(shù)， dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。 ? 這里的 b2為方差率（ Variance Rate），是指單位時(shí)間的方差。其中第一項(xiàng)adt為確定項(xiàng)，它意味著 x的期望漂移率是每單位時(shí)間為 a。這種噪音是由維納過(guò)程的 b倍給出的。這就是伊藤過(guò)程。由于 a 和 b都是 x和 t的函數(shù)，因此函數(shù) G也遵循伊藤過(guò)程，它的漂移率為 方差率為 ( , ) ( , )d x a x t d t b x t d
范文總結(jié)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1