期權(quán)定價(jià)模型-展示頁(yè)
2025-02-24 04:35本頁(yè)面
【正文】 據(jù)眾多學(xué)者的實(shí)證研究，發(fā)達(dá)國(guó)家的證券市場(chǎng)大體符合弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)。 (獨(dú)立增量 ） z?zt?? ? ?3 維納過(guò)程的性質(zhì) ? [z (T ) – z (0)]也是正態(tài)分布 – 均值等于 0 – 方差等于 T – 標(biāo)準(zhǔn)差等于 – 方差可加性 T?? ???ni i tzTz 1)0()( ?為何使用布朗運(yùn)動(dòng)？ ? 正態(tài)分布的使用：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明，股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率近似地服從正態(tài)分布 ? 數(shù)學(xué)上可以證明，具備特征 1 和特征 2的維納過(guò)程是一個(gè)馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程 ? 維納過(guò)程在數(shù)學(xué)上對(duì)時(shí)間處處不可導(dǎo)和二次變分（ Quadratic Variation）不為零的性質(zhì)，與股票收益率在時(shí)間上存在轉(zhuǎn)折尖點(diǎn)等性質(zhì)也是相符的 5 1965年，法瑪（ Fama）提出了著名的效率市場(chǎng)假說(shuō)。 2 布朗運(yùn)動(dòng)（ Brownian Motion）起源于英國(guó)植物學(xué)家布郎對(duì)水杯中的花粉粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡的描述。在 了解了股票價(jià)格的規(guī)律后，我們?cè)噲D通過(guò)股票來(lái)復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價(jià)。因?yàn)楣善逼跈?quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價(jià)格、期權(quán)有效期、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的情況下，期權(quán)價(jià)格變化的唯一來(lái)源就是股票價(jià)格的變化，股票價(jià)格是影響期權(quán)價(jià)格的最根本因素。在本章中，我們將循序漸進(jìn)，盡量深入淺出地介紹布萊克 舒爾斯 默頓期權(quán)定價(jià)模型（下文簡(jiǎn)稱 BSM模型），并由此導(dǎo)出衍生證券定價(jià)的一般方法。 1973年，美國(guó)芝加哥大學(xué)教授 Fischer Black Myron Scholes提出了著名的 BS定價(jià)模型，用于確定歐式股票期權(quán)價(jià)格，在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起了強(qiáng)烈反響；同年， Robert C. Merton獨(dú)立地提出了一個(gè)更為一般化的模型。舒爾斯和默頓由此獲得了 1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。 1 我們?yōu)榱私o股票期權(quán)定價(jià)，必須先了解股票本身的走勢(shì)。 因此，要研究期權(quán)的價(jià)格，首先必須研究股票價(jià)格的變化規(guī)律。 在下面幾節(jié)中我們會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述這種定價(jià)的思想。 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)兩大特征： 特征 1 (正態(tài)分布 ) 特征 2： 對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔 ， 的值相互獨(dú)立。該假說(shuō)認(rèn)為，證券價(jià)格對(duì)新的市場(chǎng)信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息。一般認(rèn)為，弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)與馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程（ Markov Stochastic Process）是內(nèi)在一致的。 有效市場(chǎng)三個(gè)層次 6 ? 弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)認(rèn)為，證券價(jià)格變動(dòng)的歷史不包含任何對(duì)預(yù)測(cè)證券價(jià)格未來(lái)變動(dòng)有用的信息，也就是說(shuō)不能通過(guò)技術(shù)分析獲得超過(guò)平均收益率的收益。 ? 強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說(shuō)認(rèn)為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價(jià)中，因此任何信息（包括“內(nèi)幕信息”）對(duì)挑選證券都沒有用處。 一般認(rèn)為，弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)與馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程（ Markov Stochastic Process）是內(nèi)在一致的。在這個(gè)過(guò)程中，只有變量的當(dāng)前值才與未來(lái)的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過(guò)去的歷史和變量從過(guò)去到現(xiàn)在的演變方式與未來(lái)的預(yù)測(cè)無(wú)關(guān)。 bdzadtdx ?? 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的擴(kuò)展：普通布郎運(yùn)動(dòng)，令漂移率為 a，方差率為 b2，： or: x(t)=x0+at+bz(t) 遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)的變量 x是關(guān)于時(shí)間和 dz的動(dòng)態(tài)過(guò)程： adt為確定項(xiàng)，意味著 x的漂移率是每單位時(shí)間為 a； bdz是隨機(jī)項(xiàng)，代表著對(duì) x的時(shí)間趨勢(shì)過(guò)程所添加的噪音，使變量 x圍繞著確定趨勢(shì)上下隨機(jī)波動(dòng)，且這種噪音是由維納過(guò)程的 b倍給出的。 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)為普通布朗運(yùn)動(dòng)的特例。其中， dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)， a、 b是變量 x和 t的函數(shù)，變量 x的漂移率為 a，方差率為 b2。這就是著名的伊藤引理。 ? 由于衍生產(chǎn)品價(jià)格是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和時(shí)間的函數(shù)，因此隨機(jī)過(guò)程在衍生產(chǎn)品分析中扮演重要的角色。 14 案例 運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo) lnS所遵循的隨機(jī)過(guò)程 假設(shè)變量 S服從 其中 μ和 σ都為常數(shù)，則 lnS遵循怎樣的隨機(jī)過(guò)程？ 由于 μ和 σ是常數(shù)， S顯然服從 ， 的伊藤過(guò)程，我們可以運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo) lnS所遵循的隨機(jī)過(guò)程。 dS Sdt Sdz????( , )a S t S??( , )b S t S??SG ln? 0,1,1 222 ?????????? tGSS GSG bdzxGdtbx GtaxGdG ???????????? )21( 222SG ln? 2l n ( )2dG d S dt dz???? ? ? ?2()2 dt???2dt?**隨機(jī)微積分與非隨機(jī)微積分的差別 ln dSdS S?15 從案例 ，如果股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則有 1 從自然對(duì)數(shù)的定義域可知， S不能為負(fù)數(shù)。 ln lnTSSTt? ?? ? 22~ [ ( ) , ]Tt? ?? ? ? ? ??17 ??: 幾何布朗運(yùn)動(dòng)中的期望收益率。由于后者涉及主觀因素，因此其決定本身就較復(fù)雜。 3 、 較長(zhǎng)時(shí)間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于 ，這是因?yàn)檩^長(zhǎng)時(shí)間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時(shí)間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時(shí)間內(nèi)的收益率則是算術(shù)平均的結(jié)果。在計(jì)算中，一般來(lái)說(shuō)時(shí)間距離計(jì)算時(shí)越近越好；時(shí)間窗口太短也不好；一般來(lái)說(shuō)采用交易天數(shù)計(jì)算波動(dòng)率而不采用日歷天數(shù)。 SdzSdtdS ?? ?? SdzSGdtSS GtGSSGdG ??? ???????????? )21( 222220 假設(shè)： 證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即 和 為常數(shù)； 允許賣空標(biāo)的證券； 沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的； 衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付； 不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)； 證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的； 衍生證券有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r為常數(shù)。 令 代表該投資組合的價(jià)
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