binaaablack-scholes期權(quán)定價模型(存儲版)
【正文】 ? ? ??2022/8/21 24 ? 在 時間后： ? 將 代入，可得： ? 在沒有套利機會的條件下： ? 從而得到： ? 這就是著名的布萊克 —— 舒爾斯微分分程，它事實上適用于其價格取決于標的證券價格 S的所有衍生證券的定價。 ? 盡管風險中性假定僅僅是為了求解布萊克 —— 舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但 BS發(fā)現(xiàn)，通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風險中性情況，也適用于投資者厭惡風險的所有情況。為了使該組合價值處于無風險狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當?shù)闹?，?3個月后該組合的價值不變，這意味著： ? 11Δ － =9 ? Δ = ? 因此，一個無風險組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和 。例如，在風險中性世界中，無風險利率為 10%，則股票上升的概率 P可以通過下式來求： ? 10= [11p+9(1p)] ? P=%。 SN(d1)= er(Tt)ST N(d1)是 ST的風險中性期望值的現(xiàn)值。當期權(quán)到期時，這部分現(xiàn)值將由于標的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。但是由于有收益的 美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行的可能性較小，可以采用近似的解析定價方法。 ? 改變波動率的估計的方式會提高布萊克 —— 舒爾斯期權(quán)定價公式在預(yù)測實際價格時的表現(xiàn)。 2022/8/21 43 布萊克 —— 舒爾斯期權(quán)定價公式的實證研究 ? 精度：理論價格與實際價格的比較 ? 存在一定偏差，但仍然是解釋期權(quán)價格動態(tài)的最佳模型之一。 ? 。 ? 根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式 ： ? 由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴密的平價關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)無法得到精確的解析公式，而只能運用數(shù)值方法和近似方法得到。 ? 要求解這個方程，關(guān)鍵在于到期的股票價格 ST，我們知道它服從對數(shù)正態(tài)分布，且其中所有的利率應(yīng)用無風險利率，因此， () [ m a x( , 0) ]r T t Tc e E S X?????2l n ~ [ l n ( ) ( ) , ]2TS S r T t T t???? ? ? ?2022/8/21 32 ? 對式（ 3）積分求得： ? N（ x）為標準正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)（即這個變量小于 x的概率）。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。 ? 為了找出該期權(quán)的價值，我們可構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和Δ 單位的標的股票多頭組成的組合。 2022/8/21 26 風險中性定價原理 ? 所謂風險中性，即無論實際風險如何，投資者都只要求無風險利率回報。 ? 2022/8/21 21 BlackScholes微分方程：假設(shè) ? 假設(shè)： ? 證券價格遵循幾何布朗運動，即 μ和 σ 為常數(shù)； ? 允許賣空； ? 沒有交易費用和稅收，所有證券都是完全可分的； ? 在衍生證券有效期內(nèi)標的證券沒有現(xiàn)金收益支付； ? 不存在無風險套利機會； ? 證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的； ? 在衍生證券有效期內(nèi)，無風險利率 r為常數(shù)。 ? σ ： ? 是證券價格的年波動率，又是股票價格對數(shù)收益率的年標準差 ? 因此一般從歷史的價格數(shù)據(jù)中計算出樣本對數(shù)收益率的標準差，再對時間標準化，得到年標準差，即為波動率的估計值。 ln lnTSS?22l n l n ~ [ ( ) ( ) , ]TS S T t T t?? ? ?? ? ? ?22l n ~ [ l n ( ) ( ) , ]TS S T t T t?? ? ?? ? ? ?()() TtTE S S e ? ?? 22 2 ( ) ( )v a r ( ) [ 1 ]T t T tTS S e e??????2022/8/21 16 （ 2） 股票價格對數(shù)收益率服從正態(tài)分布 ? 由于 dG實際上就是連續(xù)復(fù)利的對數(shù)收益率。 SS?T?2022/8/21 14 幾何布朗運動的深入分析（ 3） ? 如果股票價格服從幾何布朗運動，則可以利用Ito引理來推導(dǎo)證券價格自然對數(shù) lnS所遵循的隨機過程： ? 這個隨機過程的特征： ? 普通布朗運動：恒定的漂移率和恒定的方差率。 ? 交叉匯率問題： ? 如果用百分比表示，例如美元對日元匯率變化收益率、日元對美元匯率變化收益率，兩者絕對值不會相等；而且其中一個服從正態(tài)分布，另一個就無法服從正態(tài)分布；交叉匯率的收益率難以直接計算。因此需要用百分比收益率代替絕對的股票價格。 ? 基本假設(shè)：證券價格所遵循的隨機過程： ? 其中， S表示證券價格， μ表示證券在單位時間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率（又稱預(yù)期收益率）☆， σ 2 表示證券收益率單位時間的方差， σ 表示證券收益率單位時間的標準差，簡稱證券價格的波動率（ Volatility）☆， dz表示標準布朗運動。 ? 這個過程指出變量 x關(guān)于時間和 dz的動態(tài)過程。z N t t? ? ?方差為 。需要了解其所遵循的隨機過程。因此，期權(quán)價格變化也是一個相應(yīng)的隨機過程。 ? 在股票價格遵循的隨機過程和衍生證券價格遵循的隨機過程中， BlackScholes發(fā)現(xiàn)，由于它們都只受到同一種不確定性的影響，如果通過買入和賣空一定數(shù)量的衍生證券和標的證券，建立一定的組合，可以消除這個不確定性，從而使整個組合只獲得無風險利率。
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