binaaablack-scholes期權(quán)定價(jià)模型(存儲(chǔ)版)
【正文】 ? ? ??2022/8/21 24 ? 在 時(shí)間后： ? 將 代入，可得： ? 在沒(méi)有套利機(jī)會(huì)的條件下： ? 從而得到： ? 這就是著名的布萊克 —— 舒爾斯微分分程，它事實(shí)上適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格 S的所有衍生證券的定價(jià)。 ? 盡管風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了求解布萊克 —— 舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但 BS發(fā)現(xiàn)，通過(guò)這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。為了使該組合價(jià)值處于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)闹?，?3個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著： ? 11Δ － =9 ? Δ = ? 因此，一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和 。例如，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為 10%，則股票上升的概率 P可以通過(guò)下式來(lái)求： ? 10= [11p+9(1p)] ? P=%。 SN(d1)= er(Tt)ST N(d1)是 ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。但是由于有收益的 美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行的可能性較小，可以采用近似的解析定價(jià)方法。 ? 改變波動(dòng)率的估計(jì)的方式會(huì)提高布萊克 —— 舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式在預(yù)測(cè)實(shí)際價(jià)格時(shí)的表現(xiàn)。 2022/8/21 43 布萊克 —— 舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的實(shí)證研究 ? 精度：理論價(jià)格與實(shí)際價(jià)格的比較 ? 存在一定偏差，但仍然是解釋期權(quán)價(jià)格動(dòng)態(tài)的最佳模型之一。 ? 。 ? 根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價(jià)關(guān)系，可以得到無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式 ： ? 由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴(yán)密的平價(jià)關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)無(wú)法得到精確的解析公式，而只能運(yùn)用數(shù)值方法和近似方法得到。 ? 要求解這個(gè)方程，關(guān)鍵在于到期的股票價(jià)格 ST，我們知道它服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且其中所有的利率應(yīng)用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，因此， () [ m a x( , 0) ]r T t Tc e E S X?????2l n ~ [ l n ( ) ( ) , ]2TS S r T t T t???? ? ? ?2022/8/21 32 ? 對(duì)式（ 3）積分求得： ? N（ x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)（即這個(gè)變量小于 x的概率）。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。 ? 為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和Δ 單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。 2022/8/21 26 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 ? 所謂風(fēng)險(xiǎn)中性，即無(wú)論實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)如何，投資者都只要求無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率回報(bào)。 ? 2022/8/21 21 BlackScholes微分方程：假設(shè) ? 假設(shè)： ? 證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即 μ和 σ 為常數(shù)； ? 允許賣空； ? 沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的； ? 在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒(méi)有現(xiàn)金收益支付； ? 不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)； ? 證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的； ? 在衍生證券有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r為常數(shù)。 ? σ ： ? 是證券價(jià)格的年波動(dòng)率，又是股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差 ? 因此一般從歷史的價(jià)格數(shù)據(jù)中計(jì)算出樣本對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，再對(duì)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)化，得到年標(biāo)準(zhǔn)差，即為波動(dòng)率的估計(jì)值。 ln lnTSS?22l n l n ~ [ ( ) ( ) , ]TS S T t T t?? ? ?? ? ? ?22l n ~ [ l n ( ) ( ) , ]TS S T t T t?? ? ?? ? ? ?()() TtTE S S e ? ?? 22 2 ( ) ( )v a r ( ) [ 1 ]T t T tTS S e e??????2022/8/21 16 （ 2） 股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率服從正態(tài)分布 ? 由于 dG實(shí)際上就是連續(xù)復(fù)利的對(duì)數(shù)收益率。 SS?T?2022/8/21 14 幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（ 3） ? 如果股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則可以利用Ito引理來(lái)推導(dǎo)證券價(jià)格自然對(duì)數(shù) lnS所遵循的隨機(jī)過(guò)程： ? 這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的特征： ? 普通布朗運(yùn)動(dòng)：恒定的漂移率和恒定的方差率。 ? 交叉匯率問(wèn)題： ? 如果用百分比表示，例如美元對(duì)日元匯率變化收益率、日元對(duì)美元匯率變化收益率，兩者絕對(duì)值不會(huì)相等；而且其中一個(gè)服從正態(tài)分布，另一個(gè)就無(wú)法服從正態(tài)分布；交叉匯率的收益率難以直接計(jì)算。因此需要用百分比收益率代替絕對(duì)的股票價(jià)格。 ? 基本假設(shè)：證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過(guò)程： ? 其中， S表示證券價(jià)格， μ表示證券在單位時(shí)間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率（又稱預(yù)期收益率）☆， σ 2 表示證券收益率單位時(shí)間的方差， σ 表示證券收益率單位時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差，簡(jiǎn)稱證券價(jià)格的波動(dòng)率（ Volatility）☆， dz表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。 ? 這個(gè)過(guò)程指出變量 x關(guān)于時(shí)間和 dz的動(dòng)態(tài)過(guò)程。z N t t? ? ?方差為 。需要了解其所遵循的隨機(jī)過(guò)程。因此，期權(quán)價(jià)格變化也是一個(gè)相應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程。 ? 在股票價(jià)格遵循的隨機(jī)過(guò)程和衍生證券價(jià)格遵循的隨機(jī)過(guò)程中， BlackScholes發(fā)現(xiàn)，由于它們都只受到同一種不確定性的影響，如果通過(guò)買入和賣空一定數(shù)量的衍生證券和標(biāo)的證券，建立一定的組合，可以消除這個(gè)不確定性，從而使整個(gè)組合只獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。
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