【正文】 正是來源于簽訂合約時，未來標(biāo)的資產(chǎn)價格與合約執(zhí)行價格之間的預(yù)期差異變化，在現(xiàn)實中，資產(chǎn)價格總是隨機變化的。 ? 這里的 b2為方差率（ Variance Rate），是指單位時間的方差。投資者不是期望股票價格以一定的絕對價格增長，而是期望股票價格以一定的增長率在增長。股票價格的年波動率并不是一年內(nèi)股票價格百分比收益率變化的標(biāo)準差。 ? 較長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于 ，這是因為較長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時間內(nèi)的收益率則是算術(shù)平均的結(jié)果。 ? 由此我們可以利用 BS公式得到的結(jié)論，作出一個可以大大簡化我們的工作的風(fēng)險中性假設(shè)： 在對衍生證券定價時，所有投資者都是風(fēng)險中性的。 2022/8/21 29 ? 從該例子可以看出，在確定期權(quán)價值時，我們并不需要知道股票價格上漲到 11元的概率和下降到 9元的概率。 2022/8/21 36 ? 在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，由于 C=c，因此式也給出了無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價值。 ? 近似為 2022/8/21 42 2．美式看跌期權(quán) ? 由于收益雖然使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只能通過較復(fù)雜的數(shù)值方法來求出。 ? 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，我們可用一種近似處理的方法。 因此，這個公式就是未來收益期望值的貼現(xiàn)。無論 3個月后股票價格等于 11元還是 9元，該組合價值都將等于 元。 ? 值得強調(diào)的是：上述投資組合只是在極短的時間內(nèi)才是無風(fēng)險的。 2022/8/21 18 參數(shù)的理解 ? μ： ? 幾何布朗運動中的期望收益率，短時期內(nèi)的期望值。但是在很短時間內(nèi)幾乎可以認為是近似。也被稱為幾何布朗運動 dSd S S d t S d z d t d zS? ? ? ?? ? ? ?或2022/8/21 10 為什么證券價格可以用幾何布朗運動表示？ ? 一般認同的“弱式效率市場假說”： ? 證券價格的變動歷史不包含任何對預(yù)測證券價格未來變動有用的信息。 ? 為何定義為： ? 當(dāng)我們需要考察任意時間長度間隔中的變量變化的情況時，獨立的正態(tài)分布，期望值和方差具有可加性，而標(biāo)準差不具有可加性。 ? 在股票價格遵循的隨機過程和衍生證券價格遵循的隨機過程中， BlackScholes發(fā)現(xiàn)，由于它們都只受到同一種不確定性的影響，如果通過買入和賣空一定數(shù)量的衍生證券和標(biāo)的證券，建立一定的組合，可以消除這個不確定性，從而使整個組合只獲得無風(fēng)險利率。需要了解其所遵循的隨機過程。 ? 這個過程指出變量 x關(guān)于時間和 dz的動態(tài)過程。因此需要用百分比收益率代替絕對的股票價格。 SS?T?2022/8/21 14 幾何布朗運動的深入分析（ 3） ? 如果股票價格服從幾何布朗運動，則可以利用Ito引理來推導(dǎo)證券價格自然對數(shù) lnS所遵循的隨機過程： ? 這個隨機過程的特征： ? 普通布朗運動：恒定的漂移率和恒定的方差率。 ? σ ： ? 是證券價格的年波動率，又是股票價格對數(shù)收益率的年標(biāo)準差 ? 因此一般從歷史的價格數(shù)據(jù)中計算出樣本對數(shù)收益率的標(biāo)準差，再對時間標(biāo)準化，得到年標(biāo)準差，即為波動率的估計值。 2022/8/21 26 風(fēng)險中性定價原理 ? 所謂風(fēng)險中性，即無論實際風(fēng)險如何，投資者都只要求無風(fēng)險利率回報。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。 ? 根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式 ： ? 由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴密的平價關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)無法得到精確的解析公式，而只能運用數(shù)值方法和近似方法得到。 2022/8/21 43 布萊克 —— 舒爾斯期權(quán)定價公式的實證研究 ? 精度：理論價格與實際價格的比較 ? 存在一定偏差，但仍然是解釋期權(quán)價格動態(tài)的最佳模型之一。但是由于有收益的 美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行的可能性較小，可以采用近似的解析定價方法。 SN(d1)= er(Tt)ST N(d1)是 ST的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。為了使該組合價值處于無風(fēng)險狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)闹?，?3個月后該組合的價值不變，這意味著： ? 11Δ － =9 ? Δ = ? 因此，一個無風(fēng)險組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和 。令 代表該投資組合的價值，則： 22221()2S S t S zf f f ff S S t S zS t S S??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?和z?fS???ffSS?? ? ? ??2022/8/21 24 ? 在 時間后： ? 將 代入，可得： ? 在沒有套利機會的條件下： ? 從而得到： ? 這就是著名的布萊克 —— 舒爾斯微分分程，它事實上適用于其價格取決于標(biāo)的證券價格 S的所有衍生證券的定價。 ? 將 t與 T之間的連續(xù)復(fù)利年收益率定義為 η，則 22t22l n l n ~ [ ( ) (1e) , ]~ [ (n,]lt)T