【正文】 正是來(lái)源于簽訂合約時(shí)，未來(lái)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與合約執(zhí)行價(jià)格之間的預(yù)期差異變化，在現(xiàn)實(shí)中，資產(chǎn)價(jià)格總是隨機(jī)變化的。 ? 這里的 b2為方差率（ Variance Rate），是指單位時(shí)間的方差。投資者不是期望股票價(jià)格以一定的絕對(duì)價(jià)格增長(zhǎng)，而是期望股票價(jià)格以一定的增長(zhǎng)率在增長(zhǎng)。股票價(jià)格的年波動(dòng)率并不是一年內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率變化的標(biāo)準(zhǔn)差。 ? 較長(zhǎng)時(shí)間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于 ，這是因?yàn)檩^長(zhǎng)時(shí)間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時(shí)間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時(shí)間內(nèi)的收益率則是算術(shù)平均的結(jié)果。 ? 由此我們可以利用 BS公式得到的結(jié)論，作出一個(gè)可以大大簡(jiǎn)化我們的工作的風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)： 在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。 2022/8/21 29 ? 從該例子可以看出，在確定期權(quán)價(jià)值時(shí)，我們并不需要知道股票價(jià)格上漲到 11元的概率和下降到 9元的概率。 2022/8/21 36 ? 在標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益情況下，由于 C=c，因此式也給出了無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價(jià)值。 ? 近似為 2022/8/21 42 2．美式看跌期權(quán) ? 由于收益雖然使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價(jià)值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只能通過(guò)較復(fù)雜的數(shù)值方法來(lái)求出。 ? 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時(shí)，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，我們可用一種近似處理的方法。 因此，這個(gè)公式就是未來(lái)收益期望值的貼現(xiàn)。無(wú)論 3個(gè)月后股票價(jià)格等于 11元還是 9元，該組合價(jià)值都將等于 元。 ? 值得強(qiáng)調(diào)的是：上述投資組合只是在極短的時(shí)間內(nèi)才是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。 2022/8/21 18 參數(shù)的理解 ? μ： ? 幾何布朗運(yùn)動(dòng)中的期望收益率，短時(shí)期內(nèi)的期望值。但是在很短時(shí)間內(nèi)幾乎可以認(rèn)為是近似。也被稱(chēng)為幾何布朗運(yùn)動(dòng) dSd S S d t S d z d t d zS? ? ? ?? ? ? ?或2022/8/21 10 為什么證券價(jià)格可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)表示？ ? 一般認(rèn)同的“弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)”： ? 證券價(jià)格的變動(dòng)歷史不包含任何對(duì)預(yù)測(cè)證券價(jià)格未來(lái)變動(dòng)有用的信息。 ? 為何定義為： ? 當(dāng)我們需要考察任意時(shí)間長(zhǎng)度間隔中的變量變化的情況時(shí)，獨(dú)立的正態(tài)分布，期望值和方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。 ? 在股票價(jià)格遵循的隨機(jī)過(guò)程和衍生證券價(jià)格遵循的隨機(jī)過(guò)程中， BlackScholes發(fā)現(xiàn)，由于它們都只受到同一種不確定性的影響，如果通過(guò)買(mǎi)入和賣(mài)空一定數(shù)量的衍生證券和標(biāo)的證券，建立一定的組合，可以消除這個(gè)不確定性，從而使整個(gè)組合只獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。需要了解其所遵循的隨機(jī)過(guò)程。 ? 這個(gè)過(guò)程指出變量 x關(guān)于時(shí)間和 dz的動(dòng)態(tài)過(guò)程。因此需要用百分比收益率代替絕對(duì)的股票價(jià)格。 SS?T?2022/8/21 14 幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（ 3） ? 如果股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則可以利用Ito引理來(lái)推導(dǎo)證券價(jià)格自然對(duì)數(shù) lnS所遵循的隨機(jī)過(guò)程： ? 這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的特征： ? 普通布朗運(yùn)動(dòng)：恒定的漂移率和恒定的方差率。 ? σ ： ? 是證券價(jià)格的年波動(dòng)率，又是股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差 ? 因此一般從歷史的價(jià)格數(shù)據(jù)中計(jì)算出樣本對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，再對(duì)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)化，得到年標(biāo)準(zhǔn)差，即為波動(dòng)率的估計(jì)值。 2022/8/21 26 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 ? 所謂風(fēng)險(xiǎn)中性，即無(wú)論實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)如何，投資者都只要求無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率回報(bào)。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。 ? 根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價(jià)關(guān)系，可以得到無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式 ： ? 由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴(yán)密的平價(jià)關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)無(wú)法得到精確的解析公式，而只能運(yùn)用數(shù)值方法和近似方法得到。 2022/8/21 43 布萊克 —— 舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的實(shí)證研究 ? 精度：理論價(jià)格與實(shí)際價(jià)格的比較 ? 存在一定偏差，但仍然是解釋期權(quán)價(jià)格動(dòng)態(tài)的最佳模型之一。但是由于有收益的 美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行的可能性較小，可以采用近似的解析定價(jià)方法。 SN(d1)= er(Tt)ST N(d1)是 ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。為了使該組合價(jià)值處于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)闹?，?3個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著： ? 11Δ － =9 ? Δ = ? 因此，一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和 。令 代表該投資組合的價(jià)值，則： 22221()2S S t S zf f f ff S S t S zS t S S??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?和z?fS???ffSS?? ? ? ??2022/8/21 24 ? 在 時(shí)間后： ? 將 代入，可得： ? 在沒(méi)有套利機(jī)會(huì)的條件下： ? 從而得到： ? 這就是著名的布萊克 —— 舒爾斯微分分程，它事實(shí)上適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格 S的所有衍生證券的定價(jià)。 ? 將 t與 T之間的連續(xù)復(fù)利年收益率定義為 η，則 22t22l n l n ~ [ ( ) (1e) , ]~ [ (n,]lt)T