binaaablack-scholes期權(quán)定價(jià)模型(已修改)
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【正文】 2022/8/21 1 第 六 章 BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型 2022/8/21 2 BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型的基本思路 ? 期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價(jià)格波動的來源就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化，期權(quán)價(jià)格受到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的影響。 ? 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化過程是一個隨機(jī)過程。因此，期權(quán)價(jià)格變化也是一個相應(yīng)的隨機(jī)過程。 ? 金融學(xué)家發(fā)現(xiàn)，股票價(jià)格的變化可以用 Ito過程來描述。而數(shù)學(xué)家Ito發(fā)現(xiàn)的 Ito引理可以從股票價(jià)格的 Ito過程推導(dǎo)出衍生證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過程。 ? 在股票價(jià)格遵循的隨機(jī)過程和衍生證券價(jià)格遵循的隨機(jī)過程中， BlackScholes發(fā)現(xiàn)，由于它們都只受到同一種不確定性的影響，如果通過買入和賣空一定數(shù)量的衍生證券和標(biāo)的證券，建立一定的組合，可以消除這個不確定性，從而使整個組合只獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率。從而得到一個重要的方程： BlackScholes微分方程。 ? 求解這一方程，就得到了期權(quán)價(jià)格的解析解。 2022/8/21 3 為什么要研究證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過程 ? ? 期權(quán)是衍生工具，使用的是相對定價(jià)法，即相對于 證券價(jià)格的價(jià)格，因此要為期權(quán)定價(jià)首先必須研究證券價(jià)格。 ? 期權(quán)的價(jià)值正是來源于簽訂合約時(shí)，未來標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與合約執(zhí)行價(jià)格之間的預(yù)期差異變化，在現(xiàn)實(shí)中，資產(chǎn)價(jià)格總是隨機(jī)變化的。需要了解其所遵循的隨機(jī)過程。 ? 研究變量運(yùn)動的隨機(jī)過程，可以幫助我們了解在特定時(shí)刻，變量取值的概率分布情況。 2022/8/21 4 隨機(jī)過程 ? 隨機(jī)過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化的過程。 ? 隨機(jī)過程的分類 ? 離散時(shí)間、離散變量 ? 離散時(shí)間、連續(xù)變量 ? 連續(xù)時(shí)間、離散變量 ? 連續(xù)時(shí)間、連續(xù)變量 2022/8/21 5 幾種隨機(jī)過程 ? 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動（維納過程 ） ? 起源于物理學(xué)中對完全浸沒于液體或氣體中，處于大量微小分子撞擊下的的小粒子運(yùn)動的描述。 ? 設(shè) Δ t代表一個小的時(shí)間間隔長度， Δ z代表變量 z在 Δ t時(shí)間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動的 Δ z具有兩種特征： ? 特征 1： ? 其中， ε 代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為 0、標(biāo)準(zhǔn)差為 布）中取的一個隨機(jī)值。 ? 特征 2：對于任何兩個不同時(shí)間間隔 Δ t ， Δ z的值相互獨(dú)立。 ? 特征的理解 ? 特征 1： ? 特征 2: 馬爾可夫過程：只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測無關(guān)。 zt?? ? ?? ?0 , 。z N t t? ? ?方差為 。2022/8/21 6 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動（續(xù)） ? 考察變量 z在一段較長時(shí)間 T中的變化情形： ? z（ T）－ z(0)表示變量 z在 T中的變化量 ? 又可被看作是在 N個長度為的小時(shí)間間隔中 z的變化總量，其中N=T/ Δ t 。 ? 很顯然，這是 n個相互獨(dú)立的正態(tài)分布的和： ? 因此， z（ T） z（ 0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為 0，方差為 N Δ t =T，標(biāo)準(zhǔn)差為 。 ? 為何定義為： ? 當(dāng)我們需要考察任意時(shí)間長度間隔中的變量變化的情況時(shí)，獨(dú)立的正態(tài)分布，期望值和方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。這樣定義可以使方差與時(shí)間長度成比例，不受時(shí)間劃分方法的影響。 ? 相應(yīng)的一個結(jié)果就是：標(biāo)準(zhǔn)差的單位變?yōu)? ? 連續(xù)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動： ? 當(dāng) Δ t ?0時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動 1( ) (0 ) N iiz T z t??? ? ??Ttz t z??? ? ? ? ? ?而非年d z d t??2022/8/21 7 普通布朗運(yùn)動 ? 變量 x遵循普通布朗運(yùn)動： ? 其中， a和 b均為常數(shù)， dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。 ? 這里的 a為漂移率（ Drift Rate），是指單位時(shí)間內(nèi)變量 z均值的變化值。 ? 這里的 b2為方差率（ Variance Rate），是指單位時(shí)間的方差。 ? 這個過程指出變量 x關(guān)于時(shí)間和 dz的動態(tài)過程。其中第一項(xiàng)adt為確定項(xiàng)，它意味著 x的期望漂移率是每單位時(shí)間為 a。第二項(xiàng) bdz是隨機(jī)項(xiàng)，它表明對 x的動態(tài)過程添加的噪音。這種噪音是由維納過程的 b倍給出的。 ? 可以發(fā)現(xiàn)，任意時(shí)間長度后， x值的變化都具有正態(tài)分布特征，其均值為 aT，標(biāo)準(zhǔn)差為 ,方差為 b2T. d x a d t b d z??b T2022/8/21 8 Ito過程和 Ito引理 ? 伊藤過程（ Ito Process）： ? 普通布朗運(yùn)動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量 x的漂移率和方差率當(dāng)作變量 x和時(shí)間 t的函數(shù)，我們就得到 其中， dz是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動， a、 b是變量 x和 t的函數(shù)，變量 x的漂移率為 a，方差率為 b2， 都隨時(shí)間變化。這就是伊藤過程。 ? Ito引理 ? 若變量 x遵循伊藤過程，則變量 x和 t的函數(shù) G將遵循如下過程： 其中， dz是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。由于 a 和 b都是 x和 t的函數(shù)，因此函數(shù) G也遵循伊藤過程，它的漂移率為 方差率為 ( , ) ( , )d x a x t d t b x t d z??2 221() 2G G G GdG a b dt bdzx t x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 2212G G Gabx t x? ? ???? ? ?22()G bx??2022/8/21 9 證券價(jià)格的變化過程 ? 目的：找到一個合適的隨機(jī)過程表達(dá)式，來盡量準(zhǔn)確地描述證券價(jià)格的變動過程，同時(shí)盡量實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)處理上的簡單性。 ? 基
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