【正文】 21() 2G G G GdG a b dt bdzx t x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 2212G G Gabx t x? ? ???? ? ?22()G bx??2022/8/21 9 證券價格的變化過程 ? 目的：找到一個合適的隨機過程表達式，來盡量準(zhǔn)確地描述證券價格的變動過程，同時盡量實現(xiàn)數(shù)學(xué)處理上的簡單性。 ? 這里的 b2為方差率（ Variance Rate），是指單位時間的方差。 zt?? ? ?? ?0 , 。 ? 期權(quán)的價值正是來源于簽訂合約時，未來標(biāo)的資產(chǎn)價格與合約執(zhí)行價格之間的預(yù)期差異變化，在現(xiàn)實中，資產(chǎn)價格總是隨機變化的。 ? 標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化過程是一個隨機過程。從而得到一個重要的方程： BlackScholes微分方程。 ? 設(shè) Δ t代表一個小的時間間隔長度， Δ z代表變量 z在 Δ t時間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運動的 Δ z具有兩種特征： ? 特征 1： ? 其中， ε 代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為 0、標(biāo)準(zhǔn)差為 布）中取的一個隨機值。這樣定義可以使方差與時間長度成比例，不受時間劃分方法的影響。 ? 可以發(fā)現(xiàn)，任意時間長度后， x值的變化都具有正態(tài)分布特征，其均值為 aT，標(biāo)準(zhǔn)差為 ,方差為 b2T. d x a d t b d z??b T2022/8/21 8 Ito過程和 Ito引理 ? 伊藤過程（ Ito Process）： ? 普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量 x的漂移率和方差率當(dāng)作變量 x和時間 t的函數(shù)，我們就得到 其中， dz是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運動， a、 b是變量 x和 t的函數(shù)，變量 x的漂移率為 a，方差率為 b2， 都隨時間變化。 ? 馬爾可夫過程：只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測無關(guān)。 ? 對數(shù)收益率 （－ ∞ ，＋ ∞ ）：更適合于建立正態(tài)分布的金融資產(chǎn)行為模型。 JP摩根銀行的RiskMetrics方法就假定組合的收益率是單個資產(chǎn)連續(xù)復(fù)利收益率的加權(quán)平均。 ? 令 t時刻 G的值為 lnS， T時刻 G的值為 lnST，其中 S表示 t時刻（當(dāng)前時刻）的證券價格， ST表示 T時刻（將來時刻）的證券價格，則在 T－ t期間 G的變化為： ? 這意味著： ? 進一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到 ? 也就是說，證券價格對數(shù)服從正態(tài)分布。 ? 根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理， μ取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險、無風(fēng)險利率水平、以及市場的風(fēng)險收益偏好。 ? 股票價格遵循幾何布朗運動，可以得到未來的某個時刻股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布的結(jié)論 dSd S S d t S d z d t d zS? ? ? ?? ? ? ?或2022/8/21 20 BlackScholes微分方程：基本思路 ? 思路：由于衍生證券價格和標(biāo)的證券價格都受同一種不確定性（ dz）影響，若匹配適當(dāng)?shù)脑挘@種不確定性就可以相互抵消。 會不斷地發(fā)生變化。 2022/8/21 27 An Example ? 假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為 10元，我們知道在 3個月后，該股票價格要么是 11元，要么是 9元。 2022/8/21 28 ? 在沒有套利機會情況下，無風(fēng)險組合只能獲得無風(fēng)險利率。 ? 可見，投資者厭惡風(fēng)險程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。 BS公式的理解 2022/8/21 34 ? 其次， 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量（求導(dǎo)）， SN（ d1)就是股票的市值 , er(Tt)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負債的價值。 σ 表示風(fēng)險部分遵循隨機過程的波動率，就可直接套用公式（ ）和（ ）分別計算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理。 2022/8/21 44 布萊克 —— 舒爾斯期權(quán)定價公式的應(yīng)用 ? 評估組合保險成本 ? 事先確定所能承受的最大損失，之后估算這一保險所需要的成本 ? 給可轉(zhuǎn)換債券定價 ? 為認股權(quán)證估值 。 2022/8/21 41 例 ? 假設(shè)一種 1年期的美式股票看漲期權(quán)，標(biāo)的股票在 5個月和 11個月后各有一個除權(quán)日，每個除權(quán)日的紅利期望值為 ，標(biāo)的股票當(dāng)前的市價為 50元，期權(quán)協(xié)議價格為 50元，標(biāo)的股票波動率為每年 30%，無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為 10%，求該期權(quán)的價值。 ? 當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計算的固定收益率 q（單位為年）時，我們只要將 Se－ q（ Tt） 代替式（ ）和（ ）中的 S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。 ? 資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)：如果標(biāo)的資產(chǎn)價格在到期時低于執(zhí)行價格，該期權(quán)沒有價值；如果高于執(zhí)行價格，則該期權(quán)支付一個等于資產(chǎn)價格本身的金額，因此該期權(quán)的價值為 er(Tt)STN(d1)= SN(d1) ? （標(biāo)準(zhǔn)）現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán) :如果標(biāo)的資產(chǎn)價格在到期時低于執(zhí)行價格，該期權(quán)沒有價值；如果高于執(zhí)行價格，則該期權(quán)支付 1元， 由于期權(quán)到期時價格超過執(zhí)行價格的概率為 1份現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)的現(xiàn)值為 er(Tt) N(d2)。 2022/8/21 30 前文的兩個重要結(jié)論 ? 股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布 ? 風(fēng)險中性定價原理 2022/8/21 31 black－ Scholes期權(quán)定價公式 ? 金融產(chǎn)品今天的價值，應(yīng)該等于未來收入的貼現(xiàn)：