【正文】 21() 2G G G GdG a b dt bdzx t x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 2212G G Gabx t x? ? ???? ? ?22()G bx??2022/8/21 9 證券價(jià)格的變化過程 ? 目的：找到一個(gè)合適的隨機(jī)過程表達(dá)式，來盡量準(zhǔn)確地描述證券價(jià)格的變動(dòng)過程，同時(shí)盡量實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)處理上的簡(jiǎn)單性。 ? 這里的 b2為方差率（ Variance Rate），是指單位時(shí)間的方差。 zt?? ? ?? ?0 , 。 ? 期權(quán)的價(jià)值正是來源于簽訂合約時(shí)，未來標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與合約執(zhí)行價(jià)格之間的預(yù)期差異變化，在現(xiàn)實(shí)中，資產(chǎn)價(jià)格總是隨機(jī)變化的。 ? 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化過程是一個(gè)隨機(jī)過程。從而得到一個(gè)重要的方程： BlackScholes微分方程。 ? 設(shè) Δ t代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度， Δ z代表變量 z在 Δ t時(shí)間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的 Δ z具有兩種特征： ? 特征 1： ? 其中， ε 代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為 0、標(biāo)準(zhǔn)差為 布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。這樣定義可以使方差與時(shí)間長(zhǎng)度成比例，不受時(shí)間劃分方法的影響。 ? 可以發(fā)現(xiàn)，任意時(shí)間長(zhǎng)度后， x值的變化都具有正態(tài)分布特征，其均值為 aT，標(biāo)準(zhǔn)差為 ,方差為 b2T. d x a d t b d z??b T2022/8/21 8 Ito過程和 Ito引理 ? 伊藤過程（ Ito Process）： ? 普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量 x的漂移率和方差率當(dāng)作變量 x和時(shí)間 t的函數(shù)，我們就得到 其中， dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)， a、 b是變量 x和 t的函數(shù)，變量 x的漂移率為 a，方差率為 b2， 都隨時(shí)間變化。 ? 馬爾可夫過程：只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測(cè)無關(guān)。 ? 對(duì)數(shù)收益率 （－ ∞ ，＋ ∞ ）：更適合于建立正態(tài)分布的金融資產(chǎn)行為模型。 JP摩根銀行的RiskMetrics方法就假定組合的收益率是單個(gè)資產(chǎn)連續(xù)復(fù)利收益率的加權(quán)平均。 ? 令 t時(shí)刻 G的值為 lnS， T時(shí)刻 G的值為 lnST，其中 S表示 t時(shí)刻（當(dāng)前時(shí)刻）的證券價(jià)格， ST表示 T時(shí)刻（將來時(shí)刻）的證券價(jià)格，則在 T－ t期間 G的變化為： ? 這意味著： ? 進(jìn)一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到 ? 也就是說，證券價(jià)格對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布。 ? 根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)原理， μ取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)、無風(fēng)險(xiǎn)利率水平、以及市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。 ? 股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，可以得到未來的某個(gè)時(shí)刻股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的結(jié)論 dSd S S d t S d z d t d zS? ? ? ?? ? ? ?或2022/8/21 20 BlackScholes微分方程：基本思路 ? 思路：由于衍生證券價(jià)格和標(biāo)的證券價(jià)格都受同一種不確定性（ dz）影響，若匹配適當(dāng)?shù)脑?，這種不確定性就可以相互抵消。 會(huì)不斷地發(fā)生變化。 2022/8/21 27 An Example ? 假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為 10元，我們知道在 3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是 11元，要么是 9元。 2022/8/21 28 ? 在沒有套利機(jī)會(huì)情況下，無風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率。 ? 可見，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。 BS公式的理解 2022/8/21 34 ? 其次， 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量（求導(dǎo)）， SN（ d1)就是股票的市值 , er(Tt)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。 σ 表示風(fēng)險(xiǎn)部分遵循隨機(jī)過程的波動(dòng)率，就可直接套用公式（ ）和（ ）分別計(jì)算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理。 2022/8/21 44 布萊克 —— 舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的應(yīng)用 ? 評(píng)估組合保險(xiǎn)成本 ? 事先確定所能承受的最大損失，之后估算這一保險(xiǎn)所需要的成本 ? 給可轉(zhuǎn)換債券定價(jià) ? 為認(rèn)股權(quán)證估值 。 2022/8/21 41 例 ? 假設(shè)一種 1年期的美式股票看漲期權(quán)，標(biāo)的股票在 5個(gè)月和 11個(gè)月后各有一個(gè)除權(quán)日，每個(gè)除權(quán)日的紅利期望值為 ，標(biāo)的股票當(dāng)前的市價(jià)為 50元，期權(quán)協(xié)議價(jià)格為 50元，標(biāo)的股票波動(dòng)率為每年 30%，無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為 10%，求該期權(quán)的價(jià)值。 ? 當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率 q（單位為年）時(shí)，我們只要將 Se－ q（ Tt） 代替式（ ）和（ ）中的 S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。 ? 資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)：如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付一個(gè)等于資產(chǎn)價(jià)格本身的金額，因此該期權(quán)的價(jià)值為 er(Tt)STN(d1)= SN(d1) ? （標(biāo)準(zhǔn)）現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán) :如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付 1元， 由于期權(quán)到期時(shí)價(jià)格超過執(zhí)行價(jià)格的概率為 1份現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)的現(xiàn)值為 er(Tt) N(d2)。 2022/8/21 30 前文的兩個(gè)重要結(jié)論 ? 股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布 ? 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 2022/8/21 31 black－ Scholes期權(quán)定價(jià)公式 ? 金融產(chǎn)品今天的價(jià)值，應(yīng)該等于未來收入的貼現(xiàn)：