binaaablack-scholes期權(quán)定價(jià)模型-文庫吧
2025-07-20 10:37 本頁面
【正文】 本假設(shè)：證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過程： ? 其中， S表示證券價(jià)格， μ表示證券在單位時(shí)間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率（又稱預(yù)期收益率）☆， σ 2 表示證券收益率單位時(shí)間的方差， σ 表示證券收益率單位時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差，簡稱證券價(jià)格的波動(dòng)率（ Volatility）☆， dz表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。 一般 μ和 σ 的單位都是年。 ? 很顯然，這是一個(gè)漂移率為 μ S、方差率為 σ 2S2的伊藤過程。也被稱為幾何布朗運(yùn)動(dòng) dSd S S d t S d z d t d zS? ? ? ?? ? ? ?或2022/8/21 10 為什么證券價(jià)格可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)表示？ ? 一般認(rèn)同的“弱式效率市場假說”： ? 證券價(jià)格的變動(dòng)歷史不包含任何對預(yù)測證券價(jià)格未來變動(dòng)有用的信息。 ? 馬爾可夫過程：只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測無關(guān)。 ? 幾何布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)項(xiàng)來源于維納過程 dz，具有馬爾可夫性質(zhì)，符合弱式假說。 ? 投資者感興趣的不是股票價(jià)格 S，而是獨(dú)立于價(jià)格的收益率。投資者不是期望股票價(jià)格以一定的絕對價(jià)格增長，而是期望股票價(jià)格以一定的增長率在增長。因此需要用百分比收益率代替絕對的股票價(jià)格。 ? 幾何布朗運(yùn)動(dòng)最終隱含的是：股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率（而不是百分比收益率）為正態(tài)分布；股票價(jià)格為對數(shù)正態(tài)分布。這比較符合現(xiàn)實(shí)。 2022/8/21 11 百分比收益率與連續(xù)復(fù)利收益率 ? 百分比收益率： ? 連續(xù)復(fù)利收益率 : ? 百分比收益率的缺陷與連續(xù)復(fù)利收益率的優(yōu)點(diǎn)： ? 有限責(zé)任原則： ? 金融學(xué)中常常存在對實(shí)際收益率（近似）服從正態(tài)分布的隱含假定，但是在有限責(zé)任（投資者頂多賠償全部的投資，不會(huì)損失更多）原則下，百分比收益率只在－ 1和＋ ∞ 之間變化，不符合正態(tài)分布假定。 ? 對數(shù)收益率 （－ ∞ ，＋ ∞ ）：更適合于建立正態(tài)分布的金融資產(chǎn)行為模型。 ? 多期收益率問題： ? 即使假設(shè)單期的百分比收益率服從正態(tài)分布，多期的百分比收益率是單期百分比收益率的乘積， n個(gè)正態(tài)分布變量的乘積并非正態(tài)分布變量。從而產(chǎn)生悖論。 ? 多期的對數(shù)收益率是單期的對數(shù)收益率之和，仍然服從正態(tài)分布。 ? 交叉匯率問題： ? 如果用百分比表示，例如美元對日元匯率變化收益率、日元對美元匯率變化收益率，兩者絕對值不會(huì)相等；而且其中一個(gè)服從正態(tài)分布，另一個(gè)就無法服從正態(tài)分布；交叉匯率的收益率難以直接計(jì)算。 ? 如果用對數(shù)收益率表示，兩個(gè)相互的匯率收益率絕對值正好相等而符號相反；可以滿足同時(shí)服從正態(tài)分布的假設(shè)；交叉匯率收益率可以直接相加計(jì)算。 ? 連續(xù)復(fù)利收益率的問題：盡管時(shí)間序列的收益率加總可以很容易的實(shí)現(xiàn)；但是橫截面的收益率加總則不是單個(gè)資產(chǎn)收益率的加權(quán)平均值，因?yàn)閷?shù)之和不是和的對數(shù)。但是在很短時(shí)間內(nèi)幾乎可以認(rèn)為是近似。 JP摩根銀行的RiskMetrics方法就假定組合的收益率是單個(gè)資產(chǎn)連續(xù)復(fù)利收益率的加權(quán)平均。 00TSSSSS?? 或0ln lnTSS?2022/8/21 12 幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析 ? 在很短的時(shí)間 Δ t后， 證券價(jià)格比率的變化值 為： ? 可見，在短時(shí)間內(nèi)， 具有正態(tài)分布特征 ? 其均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為 。 SS?ttSS ????? ???~ ( , )S ttS ? ? ?? ??t?? t? ? 2 t? ?2022/8/21 13 幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（ 2） ? 但是，在一個(gè)較長的時(shí)間 T后， 不再具有正態(tài)分布的性質(zhì)： ? 多期收益率的乘積問題 ? 因此，盡管 σ 是短期內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，但是在任意時(shí)間長度 T后，這個(gè)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差卻不再是 。股票價(jià)格的年波動(dòng)率并不是一年內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率變化的標(biāo)準(zhǔn)差。 SS?T?2022/8/21 14 幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（ 3） ? 如果股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則可以利用Ito引理來推導(dǎo)證券價(jià)格自然對數(shù) lnS所遵循的隨機(jī)過程： ? 這個(gè)隨機(jī)過程的特征： ? 普通布朗運(yùn)動(dòng)：恒定的漂移率和恒定的方差率。 ? 在任意時(shí)間長度 T之后， G的變化仍然服從正態(tài)分布，均值為 ，方差為 。標(biāo)準(zhǔn)差仍然可以表示為 ，和時(shí)間長度平方根成正比。 ? 從自然對數(shù) lnS所遵循的這個(gè)隨機(jī)過程可以得到兩個(gè)結(jié)論 : 2()2dG dt dz???? ? ?2( / 2 )( )Tt???? 2()Tt? ?tT? －22~ [ ( ) ( ) , ]G T t T t?? ? ?? ? ? ?2022/8/21 15 （ 1）幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票價(jià)格服從對數(shù)正態(tài)分布。 ? 令 t時(shí)刻 G的值為 lnS， T時(shí)刻 G的值為 lnST，其中 S表示 t時(shí)刻（當(dāng)前時(shí)刻）的證券價(jià)格， ST表示 T時(shí)刻（將來時(shí)刻）的證券價(jià)格，則在 T－ t期間 G的變化為： ? 這意味著： ? 進(jìn)一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到 ? 也就是說，證券價(jià)格對數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個(gè)變量的自然對數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個(gè)變量服從對數(shù)正態(tài)分布。這表明 ST服從對數(shù)正態(tài)分布。 ? 這正好與 μ作為預(yù)期收益率的定義相符。 ln lnTSS?22l n l n ~ [ ( ) ( ) , ]TS S T t T t?? ? ?? ? ? ?22l n ~ [ l n ( ) ( ) , ]TS S T t T t?? ? ?? ? ?
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