binaaablack-scholes期權(quán)定價模型-免費閱讀
【正文】 ? 傾向于高估方差高的期權(quán)，低估方差低的期權(quán)； ? 高估實值期權(quán)的價格，低估虛值期權(quán)的價格。 ? 外匯買賣計算的訣竅 2022/8/21 40 有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價 ? 有收益資產(chǎn)美式期權(quán)都有提前執(zhí)行的可能性，因此只能運用數(shù)值方法計算期權(quán)價格。 )()( 12)( dSNdNXep tTr ???? ??BS定價模型的基本推廣 2022/8/21 37 有收益歐式資產(chǎn)的期權(quán)定價公式 ? 基本理解： 在收益已知情況下，我們可以把標的證券價格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個有風險部分。 ? 這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價公式 21221l n( / ) ( / 2) ( )l n( / ) ( / 2) ( )S X r T tdTtS X r T td d T tTt?????? ? ???? ? ?? ? ? ??()12( ) ( )r T tc S N d X e N d????2022/8/21 33 首先， N(d2)是在風險中性世界中 ST大于 X的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率， er(Tt)XN(d2)是 X的風險中性期望值的現(xiàn)值。事實上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。若 3個月后該股票價格等于 11元時，該組合價值等于（ 11Δ － ）元；若 3個月后該股票價格等于 9元時，該組合價值等于 9元。 ? 風險中性假設(shè)的結(jié)果：我們進入了一個風險中性世界 ? 所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風險利率 ? 所有現(xiàn)金流量都可以通過無風險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。 ? 歐式期權(quán)，股票期權(quán)，看漲期權(quán) 2022/8/21 22 股票價格和期權(quán)價格服從的隨機過程 22221( ) ( 22d S S d t S d zf f f fd f S S d t S d zS t S S??? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?股票價格: （1 ）期權(quán)價格： ）2022/8/21 23 BlackScholes微分方程 ? 推導(dǎo)過程 ? 根據(jù)（ 1）和（ 2），在一個很小的時間間隔里 S和 f的變化值分別為 ? 為了消除 ，我們可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和 單位標的證券多頭的組合。 ? 一般來說，時間越近越好；時間窗口太長也不好；采用交易天數(shù)而不采用日歷天數(shù)。因此幾何布朗運動實際上意味著對數(shù)收益率遵循普通布朗運動，對數(shù)收益率的變化服從正態(tài)分布，對數(shù)收益率的標準差與時間的平方根成比例。 ? 在任意時間長度 T之后， G的變化仍然服從正態(tài)分布，均值為 ，方差為 。 ? 如果用對數(shù)收益率表示，兩個相互的匯率收益率絕對值正好相等而符號相反；可以滿足同時服從正態(tài)分布的假設(shè)；交叉匯率收益率可以直接相加計算。 ? 幾何布朗運動最終隱含的是：股票價格的連續(xù)復(fù)利收益率（而不是百分比收益率）為正態(tài)分布；股票價格為對數(shù)正態(tài)分布。 一般 μ和 σ 的單位都是年。其中第一項adt為確定項，它意味著 x的期望漂移率是每單位時間為 a。2022/8/21 6 標準布朗運動（續(xù)） ? 考察變量 z在一段較長時間 T中的變化情形： ? z（ T）－ z(0)表示變量 z在 T中的變化量 ? 又可被看作是在 N個長度為的小時間間隔中 z的變化總量，其中N=T/ Δ t 。 ? 研究變量運動的隨機過程，可以幫助我們了解在特定時刻，變量取值的概率分布情況。 ? 金融學家發(fā)現(xiàn)，股票價格的變化可以用 Ito過程來描述。而數(shù)學家Ito發(fā)現(xiàn)的 Ito引理可以從股票價格的 Ito過程推導(dǎo)出衍生證券價格所遵循的隨機過程。 2022/8/21 4 隨機過程 ? 隨機過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。 ? 很顯然，這是 n個相互獨立的正態(tài)分布的和： ? 因此， z（ T） z（ 0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為 0，方差為 N Δ t =T，標準差為 。第二項 bdz是隨機項，它表明對 x的動態(tài)過程添加的噪音。 ? 很顯然，這是一個漂移率為 μ S、方差率為 σ 2S2的伊藤過程。這比較符合現(xiàn)實。 ? 連續(xù)復(fù)利收益率的問題：盡管時間序列的收益率加總可以很容易的實現(xiàn)；但是橫截面的收益率加總則不是單個資產(chǎn)收益率的加權(quán)平均值，因為對數(shù)之和不是和的對數(shù)。標準差仍然可以表示為 ，和時間長度平方根成正比。 ? 將 t與 T之間的連續(xù)復(fù)利年收益率定義為 η，則 22t22l n l n ~ [ ( ) (1e) , ]~ [ (n,]lt)TTTSSSS S T t TStTt???? ? ??? ? ??? ? ? ????（T ），＝可得T由2022/8/21 17 結(jié)論 ? 幾何布朗運動較好地描繪了股票價格的運動過程。 22?????2022/8/21 19 小結(jié) ? 我們可以用幾何布朗運動來描述股票價格的運動：符合弱式有效、對數(shù)正態(tài)分布的市場現(xiàn)實，以及投資者對收益率而非價格的關(guān)注。令 代表該投資組合的價值，則： 22221()2S S t S zf f f ff S S t S zS t S S??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?和z?fS???ffSS??
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