期權(quán)定價理論-展示頁
2025-08-13 17:03本頁面
【正文】 ( ) , ( )tttd x N a d t b d tE d x a d t D d x b d t??顯然，一般維納過程的性質(zhì)為 2022/8/22 11 ? 一般維納過程仍不足以代表隨機變量復(fù)雜的變動特征。 2022/8/22 13 ? ITO定理：假設(shè)某隨機變量 x的變動過程可由 ITO過程表示為（省略下標(biāo) t） ( , ) ( , )d x a x t d t b x t d w??? 令 f(x,t)為隨機變量 x以及時間 t的函數(shù)，即 f(x,t)可以代表以標(biāo)的資產(chǎn) x的衍生證券的價格，則 f(x,t)的價格變動過程可以表示為 2221()2f f f fdf a b dt b dwt x x x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?( , ) , ( , ) , ( , )f f x t a a x t b b x t? ? ?（ ） 證明：將（ ）離散化 ( , ) ( , )x a x t t b x t w? ? ? ? ?wt?? ? ?由（ ）知 利用泰勒展開，忽略高階段項， f(x,t)可以展開為 22222221()212f f f ff t x x x tt x x x tftt?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ??（ ） 在連續(xù)時間下，即 0tD?32 20l im 0tx t a t b t???? ? ? ? ? ? ?因此，（ ）可以改寫為 （ ） 22212f f ff t x xt x x? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?2 0tD?從而 32 0tD?22[]x a t b t?? ? ? ? ?22 2 2 2 22a t b t a b t??? ? ? ? ? ?22bt???20 0 ,tt? ? ? ?且 當(dāng) 時 ， 有 從 而22 2 2 20l i m ( ) [ ] ( ) 0tD x b t D ???? ? ? ? ?即 Δx2不呈現(xiàn)隨機波動！ （ ） 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )E x E b t b tE??? ? ? ? ?由（ ）可得 22(0 , 1 ) ,( ) [ ( 0 ) ] ( ) 1ND E E?? ? ?? ? ? ?由 于 則22()E x b t? ? ?（ ） 由（ ）得到 （ ） 由于 Δx2不呈現(xiàn)隨機波動，所以，其期望值就收斂為真實值，即 22x b t? ? ?22212f f fdf dt dx dxt x x? ? ?? ? ?? ? ?2221()2f f fdt adt bdw b dtt x x? ? ?? ? ? ?? ? ?當(dāng) Δt→0 時， 由（ ）可得 2221()2f f f fa b dt b dwt x x x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?■ BS微分方程 d s s d t s d w????假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格變動過程滿足 ? 這里 S為標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的價格，令 f(s,t)代表衍生證券的價格，則 f(x,t)的價格變動過程可由 ITO引理近似為 22221()2f f f fdf s s dt s dwt s s s? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?2022/8/22 20 22221()2f f f ff s s t s wt s s s? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?假設(shè)某投資者以 δ 份的標(biāo)的資產(chǎn)多頭和 1個單位的衍生證券空頭來構(gòu)造一個組合，且 δ 滿足 ff s f ss182。則該組合的收益為 fs182。2022/8/22 21 ? 下面將證明該組合為無風(fēng)險組合，在 Δt時間區(qū)間內(nèi)收益為 ffss182。22221()2()f f f fs s t s wt s s sfs t s ws? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??22221()2ff stts???? ? ? ???? 注意到此時 Δ π不含有隨機項 w，這意味著該組合是無風(fēng)險的，設(shè)無風(fēng)險收益率為 r，且由于 Δt較?。ú徊捎眠B續(xù)復(fù)利），則 ffss182。又 由 于22221()2ffr t s tts抖D? 兆譊 = + s D抖22221()2f f fs t f s r tt s s抖 ? + s D = + 鬃 D抖 ?（ ）整理得到 222212f f frs s rft s s抖 ?+ s =抖 ?＋BS微分方程的意義 222212f f frs s rft s s＋抖 ?+ s =抖 ?衍生證券的價格 f，只與當(dāng)前的市價 S，時間 t，證券價格波動率 σ 和無風(fēng)險利率 r有關(guān)，它們?nèi)际强陀^變量。 在對衍生證券定價時，可以采用 風(fēng)險中性定價 ，即所有證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險利率 r。 2022/8/22 24 t t t tdS S dt S dw????若股票價格服從幾何布朗運動 設(shè)當(dāng)前時刻為 t，則 T時刻股票價格滿足對數(shù)正態(tài)分布，即 22l n ~ [ l n ( / 2 ) , ]TtS N S ? ? ? ? ???, [0 , ]
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