binaaablack-scholes期權(quán)定價(jià)模型-全文預(yù)覽
【正文】 ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?和z?fS???ffSS?? ? ? ??2022/8/21 24 ? 在 時(shí)間后： ? 將 代入，可得： ? 在沒(méi)有套利機(jī)會(huì)的條件下： ? 從而得到： ? 這就是著名的布萊克 —— 舒爾斯微分分程，它事實(shí)上適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格 S的所有衍生證券的定價(jià)。若數(shù)量適當(dāng)?shù)脑?，?biāo)的證券多頭盈利（或虧損）總是會(huì)與衍生證券空頭的虧損（或盈利）相抵消，因此在短時(shí)間內(nèi)該投資組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。 22?????2022/8/21 19 小結(jié) ? 我們可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)：符合弱式有效、對(duì)數(shù)正態(tài)分布的市場(chǎng)現(xiàn)實(shí)，以及投資者對(duì)收益率而非價(jià)格的關(guān)注。然而幸運(yùn)的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率 μ是無(wú)關(guān)的。 ? 將 t與 T之間的連續(xù)復(fù)利年收益率定義為 η，則 22t22l n l n ~ [ ( ) (1e) , ]~ [ (n,]lt)TTTSSSS S T t TStTt???? ? ??? ? ??? ? ? ????（T ），＝可得T由2022/8/21 17 結(jié)論 ? 幾何布朗運(yùn)動(dòng)較好地描繪了股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。這表明 ST服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)差仍然可以表示為 ，和時(shí)間長(zhǎng)度平方根成正比。 SS?ttSS ????? ???~ ( , )S ttS ? ? ?? ??t?? t? ? 2 t? ?2022/8/21 13 幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（ 2） ? 但是，在一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間 T后， 不再具有正態(tài)分布的性質(zhì)： ? 多期收益率的乘積問(wèn)題 ? 因此，盡管 σ 是短期內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，但是在任意時(shí)間長(zhǎng)度 T后，這個(gè)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差卻不再是 。 ? 連續(xù)復(fù)利收益率的問(wèn)題：盡管時(shí)間序列的收益率加總可以很容易的實(shí)現(xiàn)；但是橫截面的收益率加總則不是單個(gè)資產(chǎn)收益率的加權(quán)平均值，因?yàn)閷?duì)數(shù)之和不是和的對(duì)數(shù)。從而產(chǎn)生悖論。這比較符合現(xiàn)實(shí)。 ? 投資者感興趣的不是股票價(jià)格 S，而是獨(dú)立于價(jià)格的收益率。 ? 很顯然，這是一個(gè)漂移率為 μ S、方差率為 σ 2S2的伊藤過(guò)程。 ? Ito引理 ? 若變量 x遵循伊藤過(guò)程，則變量 x和 t的函數(shù) G將遵循如下過(guò)程： 其中， dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。第二項(xiàng) bdz是隨機(jī)項(xiàng)，它表明對(duì) x的動(dòng)態(tài)過(guò)程添加的噪音。 ? 這里的 a為漂移率（ Drift Rate），是指單位時(shí)間內(nèi)變量 z均值的變化值。 ? 很顯然，這是 n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的和： ? 因此， z（ T） z（ 0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為 0，方差為 N Δ t =T，標(biāo)準(zhǔn)差為 。 ? 特征的理解 ? 特征 1： ? 特征 2: 馬爾可夫過(guò)程：只有變量的當(dāng)前值才與未來(lái)的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過(guò)去的歷史和變量從過(guò)去到現(xiàn)在的演變方式與未來(lái)的預(yù)測(cè)無(wú)關(guān)。 2022/8/21 4 隨機(jī)過(guò)程 ? 隨機(jī)過(guò)程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化的過(guò)程。 2022/8/21 3 為什么要研究證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過(guò)程 ? ? 期權(quán)是衍生工具，使用的是相對(duì)定價(jià)法，即相對(duì)于 證券價(jià)格的價(jià)格，因此要為期權(quán)定價(jià)首先必須研究證券價(jià)格。而數(shù)學(xué)家Ito發(fā)現(xiàn)的 Ito引理可以從股票價(jià)格的 Ito過(guò)程推導(dǎo)出衍生證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過(guò)程。2022/8/21 1 第 六 章 BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型 2022/8/21 2 BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型的基本思路 ? 期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價(jià)格波動(dòng)的來(lái)源就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化，期權(quán)價(jià)格受到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的影響。 ? 金融學(xué)家發(fā)現(xiàn)，股票價(jià)格的變化可以用 Ito過(guò)程來(lái)描述。 ? 求解這一方程，就得到了期權(quán)價(jià)格的解析解。 ? 研究變量運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)過(guò)程，可以幫助我們了解在特定時(shí)刻，變量取值的概率分布情況。 ? 特征 2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔 Δ t ， Δ z的值相互獨(dú)立。2022/8/21 6 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（續(xù)） ? 考察變量 z在一段較長(zhǎng)時(shí)間 T中的變化情形： ? z（ T）－ z(0)表示變量 z在 T中的變化量 ? 又可被看作是在 N個(gè)長(zhǎng)度為的小時(shí)間間隔中 z的變化總量，其中N=T/ Δ t 。 ? 相應(yīng)的一個(gè)結(jié)果就是：標(biāo)準(zhǔn)差的單位變?yōu)? ? 連續(xù)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)： ? 當(dāng) Δ t ?0時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) 1( ) (0 ) N iiz T z t??? ? ??Ttz t z??? ? ? ? ? ?而非年d z d t??2022/8/21 7 普通布朗運(yùn)動(dòng) ? 變量 x遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)： ? 其中， a和 b均為常數(shù)， dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。其中第一項(xiàng)adt為確定項(xiàng)，它意味著 x的期望漂移率是每單位時(shí)間為 a。這就是伊藤過(guò)程。 一般 μ和 σ 的單位都是年。 ? 幾何布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)項(xiàng)來(lái)源于維納過(guò)程 dz，具有馬爾可夫性質(zhì)，符合弱式假說(shuō)。 ? 幾何布朗運(yùn)動(dòng)最終隱含的是：股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率（而不是百分比收益率）為正態(tài)分布；股票價(jià)格為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。 ? 多期收益率問(wèn)題： ? 即使假設(shè)
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