【正文】 方程是 . 7．過(guò)橢圓 42 22 ?? yx 的左焦點(diǎn)作傾斜角為 3? 的弦 AB，那么弦 AB 的長(zhǎng) = . 8．已知圓 QAyxC ),0,1(25)1(: 22 及點(diǎn)??? 為圓上一點(diǎn)， AQ 的垂直平分線交 CQ 于 M，則點(diǎn) M 的軌跡方程為 . 9. 過(guò)橢圓 221xyab??( 0ab?? )的左焦點(diǎn) 1F 作 x 軸的垂線交橢圓于點(diǎn) P ， 2F 為右焦點(diǎn)，若 1260FPF??，則橢圓的離心率為 ________________ 10.(2020湖北卷理 )已知雙曲線 22122xy??的準(zhǔn)線過(guò)橢圓 222 14xyb??的焦點(diǎn)，則直線 2y kx??與橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是 ______________________ 13 11．已知橢圓的焦點(diǎn)是 )0,1(),0,1( 21 FF ? ,Ｐ 為橢圓上一點(diǎn)，且 || 21FF 是 || 1PF 和 || 2PF 的等差中項(xiàng) . (1)求橢圓的方程； (2)若點(diǎn) P在第三象限，且∠ 21FPF ＝ 120176。 基礎(chǔ)訓(xùn)練 A組 8 1．橢圓 632 22 ?? yx 的焦距是（ ） A． 2 B． )23(2 ? C． 52 D． )23(2 ? 2． F F2是定點(diǎn)， |F1F2|=6，動(dòng)點(diǎn) M 滿足 |MF1|+|MF2|=6，則點(diǎn) M 的軌跡是（ ） A．橢圓 B．直線 C．線段 D．圓 3． P 是橢圓 14 22 ??yx 上一點(diǎn)， P 到右焦點(diǎn) F2的距離為 1，則 P 到相應(yīng)左焦點(diǎn)的準(zhǔn)線距離為（ ） A． 63 B． 332 C． 23 D． 32 4．若橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為 F1（ 1， 0）， F2（ 3， 0），則其離心率為（ ） A． 43 B． 32 C． 21 D． 41 4．若橢圓的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短是距離為 3 ，這個(gè)橢圓方程為（ ） A． 1912 22 ?? yx B． 1129 22 ?? yx C． 11291912 2222 ???? yxyx 或 D．以上都不對(duì) 6．離心率21?e，一個(gè)焦點(diǎn)是 ? ?3,0?F 的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 ___________ . 7．與橢圓 4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦點(diǎn) ,且過(guò)點(diǎn) (－ 3，２ )的橢圓方程為 _______________． 221xyab??（ a＞ 0,b＞ 0）的漸近線與拋物線 y=x2 +1相切，則該雙曲線的離心率等于 _____________ 2 2:12xCy??的右焦點(diǎn)為 F ,右準(zhǔn)線為 l ，點(diǎn) Al? ，線段 AF 交 C 于點(diǎn) B ，若 3FA FB? ,則||AF =________ 10． 已知橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，離心率 32?e ，短軸長(zhǎng)為 58 ，求橢圓的方程． 11．已知 A、 B 為橢圓22ax +22925ay =1 上兩點(diǎn)， F2為橢圓的右焦點(diǎn)，若 |AF2|+|BF2|=58 a， AB 中點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線的距離為23 ，求該橢圓方程． 9 )0(12222 ???? babyax 的內(nèi)接矩形面積的最大值 奎屯王新敞 新疆 22 yx ? ＝１，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn) P向 y 軸作垂線段 ＰＰ ′，求線段 ＰＰ ′的中點(diǎn) M 的軌跡 . 14.（ 2020 全國(guó)卷Ⅱ文） （本小題滿分 12 分） )0(12222 ???? babyax 33 22 （ Ⅰ ）求 a,b 的值； （ Ⅱ ） C 上是否存在點(diǎn) P，使得當(dāng) l繞 F 轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有 ??? ?? OBOAOP 成立？ 若存在，求出所有的 P 的坐標(biāo)與 l的方程；若不存在，說(shuō)明理由。 例 13： ABC? 的一邊的的頂點(diǎn)是 B(0,6)和 C(0,6)，另兩邊斜率的乘積是 94? ，求頂點(diǎn) A的軌跡方程： 考點(diǎn)六 綜合性問(wèn)題 ， 與平面向量結(jié)合 例 15.（ 2020 四川卷理） （本小題滿分 12 分） 已知橢圓 222 1( 0 )xy abab? ? ? ?的左右焦點(diǎn)分別為 12,FF，離心率 22e? ，右準(zhǔn)線方程為 2x? 。 ：在 x， y 間的方程 F(x,y)=0 難以直接求 得時(shí)，往往用??? ?? )( )(tyy tfx(t 為參數(shù) )來(lái)反映 x， y 之間的關(guān)系。 ：一個(gè)是動(dòng)點(diǎn) Q(x0,y0)在已知曲線 F(x,y)=0，上運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)點(diǎn) P(x,y)與 Q 點(diǎn)滿足某種關(guān)系，要求 P 點(diǎn)的軌跡。兩式相減，02022122122121 )( )( ya xbyya xxbxx yy ???????? 2121 xx yyk ??? 注：一般的，對(duì)橢圓 12222 ??byax 上弦 AB 及中點(diǎn)， M ，有22abKKOMAB ??? 例 12 22 ??yx ， 求斜率為 2 的平行 弦的中點(diǎn)軌跡方程 考點(diǎn)五 .軌跡問(wèn)題 7 這一問(wèn)題難，但是解決法非常多，有如下幾種。 當(dāng)涉及至平行法的中點(diǎn)軌跡，過(guò)定點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡，過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦所在直線方程，用“點(diǎn)差法”來(lái)求解。 題型 2“點(diǎn)差法”解題。 (2) 弦的中點(diǎn)，弦長(zhǎng)等，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，但△ 0 這一制約條件不同意。 四、橢圓上定長(zhǎng)動(dòng)弦中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的最值 6 例 10. 定長(zhǎng)為 的線段 AB 的兩個(gè)端點(diǎn)分別在橢圓 上移動(dòng)，求 AB 的中點(diǎn) M 到橢圓右準(zhǔn)線 的最短距離。 解：如圖 2，設(shè) F為橢圓的左焦點(diǎn)，可知其坐標(biāo)為 圖 2 根據(jù)橢圓的第二定義有： ，即 可知當(dāng) P、 F、 A三點(diǎn)共線且 P在線段 AF上時(shí)， 最小，最小值 。 5 三、 的最值 若 A為橢圓 C 外一定點(diǎn)， 為 C 的一條準(zhǔn)線， P 為 C 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， P 到 的距離為 d，求 的最小值。 由橢圓的第一定義得： 可知，當(dāng) P為 的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)， 最大，最大值為 ，當(dāng) P為 的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)， 最小，最小值為 。這種方法在本期《橢圓中減少運(yùn)算量的主要方法》一文中已經(jīng)介紹過(guò)，這里不再重復(fù)，答案為 二、 的最值 若 A為橢圓 C 內(nèi)一定點(diǎn)（異于焦點(diǎn)）， P 為 C 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， F 是 C 的一個(gè)焦點(diǎn)，求 的最值。 例 7. 已知橢圓 內(nèi)有一點(diǎn) A（ 2， 1）， F是橢圓 C 的左焦點(diǎn)， P 為橢圓 C 上的動(dòng)點(diǎn)，求 的最小值。2 c| y0 |= c| y0 |= 2 tan2b ?? (其中 P( 00,yx )為橢圓上一點(diǎn)， |PF1|＝ r1， |PF2|＝ r2， ∠F 1PF2＝ ? ) ： 把橢圓 12222 ??byax （ a＞ b＞ 0）的共焦點(diǎn)橢圓設(shè)為 22 222 1( )xy bab ???? ? ? ??? 8. 特 別 注 意 ： 橢圓方程中的 a,b,c,e 與坐標(biāo)系無(wú)關(guān) , 而焦點(diǎn)坐標(biāo) , 準(zhǔn)線方程 , 頂點(diǎn)坐標(biāo) , 與坐 標(biāo)系有關(guān) .因此確定橢圓方程需要三個(gè)條件 :兩個(gè)定形條件 a,b,一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程 . ： 221 2 1 2211 1 1A B k x x y y kka ?? ? ? ? ? ? ? ? 1212bxxacxxa? ? ?????? ???（ a,b,c 為方程的系數(shù) 二 ．典型例題 考點(diǎn) 1 橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 題型 1:橢圓定義的運(yùn)用 例 1 .橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤(pán)，點(diǎn) A、 B是它的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 2a，焦距為 2c，靜放在點(diǎn) A的小球（小球的半徑不計(jì)），從點(diǎn) A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn) A時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程是 （ ） 3 A． 4a B． 2(a－ c) C． 2(a+c) D．以上答案均有可能 例 P 為為橢圓 )0(12222 ???? babyax 上一點(diǎn)， F F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，試求： 21 PFPF? 取得最值時(shí)的 P 點(diǎn)坐標(biāo)。 ⑧ 焦準(zhǔn)距 cbp 2? ； 準(zhǔn)線間距 ca22? ⑨ 兩個(gè)最大角 ? ? ? ? 221m a x21221m a x21 , ABAPAAFBFPFF ?????? 焦點(diǎn)在 y 軸上，中心在原點(diǎn)： 12222 ??bxay （ a＞ b＞ 0）的性質(zhì)可類似的給出 。 3 參數(shù)方程 ： 焦點(diǎn)在 x軸，??? ?? ??sincosby ax （ ? 為參數(shù)） 4 一般方程 ： )0,0(122 ???? BAByAx ： 對(duì)于焦點(diǎn)在 x軸上，中心在原點(diǎn)： 12222 ??byax （ a＞ b＞ 0）有以下性質(zhì)： 坐標(biāo)系下的性質(zhì)： ① 范圍： |x|≤ a， |y|≤ b； ② 對(duì)稱性： 對(duì)稱軸方程為 x=0， y=0，對(duì)稱中心為 O（ 0， 0）； ③ 頂點(diǎn)： A1（ a， 0）， A2（ a， 0）， B1（ 0， b）， B2（ 0， b），長(zhǎng)軸 |A1A2|=2a，短軸 |B1B2|=2b； （ a 半長(zhǎng)軸長(zhǎng)， b 半短軸長(zhǎng)）； ④ 橢圓的準(zhǔn)線方程： 對(duì)于 12222 ?? byax ，左準(zhǔn)線 caxl 21 : ??；右準(zhǔn)線 caxl 22 : ?奎屯王新敞 新疆 對(duì)于 12222 ??bxay ，下準(zhǔn)線 cayl 21 : ??；上準(zhǔn)線 cayl 22 : ?奎屯王新敞 新疆 2 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離cbc caccap 2222 ?????（焦參數(shù)） 橢圓的準(zhǔn)線方程有兩條，這兩條準(zhǔn)線在橢圓外部，與短 軸平行，且關(guān)于 短 軸對(duì)稱 奎屯王新敞 新疆 ⑤ 焦半徑公式 ： P（ x0， y0）為橢圓上任一點(diǎn)。其中