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橢圓題型總結(jié)[較難]-展示頁

2025-04-03 04:51本頁面

　　

【正文】 2，∴ (x1,y1),B(x2,y2)，則 Δ=48(m2+1)=|y1y2|==令 t=m2+1≥1，m2=t1，則 =，t∈[1,+)f(t)=在t∈[1,+)上單調(diào)遞增，且f(t)∈[9,+)∴ t=1即m=0時(shí)，ΔABF1的面積的最大值為。在直線斜率不等于零時(shí)都可以這樣設(shè)，往往可使消元過程簡(jiǎn)單化，而且避免了討論?！鄉(xiāng)的方程為，即2x+9y20=0．（2）設(shè)P1P2的中點(diǎn)M(x，y)，則x1+x2=2x，y1+y2=2y，代入*式，得，又直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)，∴，整理，得4x(x1)+9y(y2)=0，∴P1P2的中點(diǎn)的軌跡：。目標(biāo)：復(fù)習(xí)鞏固定點(diǎn)與圓錐曲線上的點(diǎn)的連線段的最值問題。解：設(shè)P(x,y)，PM====，x∈[2,2]，結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)圖像可得（1）2，即m時(shí)，(PM)min=|m+2|；（2）2≤≤2,即≤m≤時(shí)，(PM)min=；（3）2，即m時(shí)，(PM)min=|m2|.說明：（1）類似的，亦可求出最大值；（2）橢圓上到橢圓中心最近的點(diǎn)是短軸端點(diǎn)，最小值為b，最遠(yuǎn)的點(diǎn)是長(zhǎng)軸端點(diǎn)，最大值為a；（3）橢圓上到左焦點(diǎn)最近的點(diǎn)是長(zhǎng)軸左端點(diǎn)，最小值為ac，最遠(yuǎn)的點(diǎn)是長(zhǎng)軸右端點(diǎn)，最大值為a+c；6. 在橢圓求一點(diǎn)P，是它到直線l：x+2y+10=0的距離最小，并求最大最小值。提示：（1）可等價(jià)轉(zhuǎn)化為與直線l平行的橢圓的切線與直線l之間的距離；（1）也可以用橢圓的參數(shù)方程。解法二：設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P(2cosθ,sinθ),θ∈[0,2)則P到直線l的距離為= ∴當(dāng)θ=時(shí)，P到直線l的距離最大，最大為此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,)；當(dāng)θ=時(shí)，P到直線l的距離最小，最小為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,)。在解法二中，利用橢圓的參數(shù)方程可迅速達(dá)到消元的目的，而且三角形式轉(zhuǎn)換靈活多變，利用正余弦的有界性求最值或取值范圍問題是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。解：（1）設(shè)AB：y=kx，代入橢圓，得x2==，∴x1=x2=，又，S△ABF1=|OF1|（2）S△ABF1=|OF1|∴當(dāng)k=0時(shí)，(S△ABF1)Max=12。1時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)△ABM的面積的最小值為．…………………16分當(dāng)k=0時(shí)，==，當(dāng)k不存在時(shí)，==，綜上所述，△ABM的面積的最小值為．……………………………18分9. 設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)，與橢圓相交于、兩點(diǎn)．（1）若，求的值；（2）求四邊形面積的最大值．（1）解：依題設(shè)得橢圓的方程為，直線的方程分別為，．如圖，設(shè)，其中，且滿足方程，故．① 由知，得；由在上知，得．所以，化簡(jiǎn)得，解得或．（2）解法一：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)到的距離分別為，．又，所以四邊形的面積為，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．所以的最大值為解法二：由題設(shè)，．設(shè)，由①得，故四邊形的面積為，當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．所以的最大值為．四、垂直關(guān)系10.（上海春季）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、。解：（1）設(shè)橢圓的方程為（）。（2）容易求得橢圓的方程為。由，得。故直線的方程為或。若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由?！連F⊥l，∴可設(shè)直線l的方程為y=x+m，代入橢圓方程整理，得。∵BN⊥MF，∴，即。即，∵，∴，∴或。12. （2012年高考（湖北理））設(shè)是單位圓上的任意一點(diǎn)，是過點(diǎn)與軸垂直的直線，是直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足。（Ⅰ）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）過原點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn)。解析：（Ⅰ）如圖1，設(shè)，則由，可得

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