【正文】 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]dR t S t L t I t k Rdt ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?, () 解是不是也是非負(fù)的。 ⑶ 現(xiàn)在我們考慮（ ）第三個(gè)微分方程 ( ) ( ) [ ( ) ]dI t S t L t k Idt ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ， 如上可得 ( ) ( ) [ ( ) ]dI t S t L t k Idt ? ? ?? ? ? ? ? ? ?， [ ( ) ( )]t k t I?? ? ? ?。 ⑵ 下面我們考慮模型的第二個(gè)微分方程 ( ) [ ( ) ( ) ]dL t S I t t k Ldt ? ? ?? ? ? ? ? ? ?， 如（ 1）中我們可得 ( ) [ ( ) ( ) ]dL t S I t t k Ldt ? ? ?? ? ? ? ? ? ?， [ ( ) ( ) ]t t k L??? ? ? ? ?， 再變形可得 () [ ( ) ( ) ]d L t t t k d tL ??? ? ? ?。 即 () [ ( ) ( ) ( ) ]d S t t I t t k d tS ? ? ?? ? ? ? ? ? 再對(duì)不等式兩邊積分可得： 0() e xp [ ( ) ( ) ( ) ]( 0) tSt s I s s k dsS ? ? ?? ? ? ? ? ?? ， 由于 (0) 0S ? ，所以我們可得 ( ) 0S t b??.其中 b 為某個(gè)正常數(shù)。且 ( ) 0tR? ??。實(shí)際中模型（ ）的解是解不出的，故我們轉(zhuǎn)而求其次，首先，我們先看一下方程組中每個(gè)方程是否能夠做出什么來，下面我們就逐個(gè)討論（ ）的微分方程。 第三章 SLIR 模型的非負(fù)性和有界性 解的非負(fù)性 在本節(jié)中我們將對(duì)模型（ ）的解進(jìn)行討論，因?yàn)樵趯?shí)際生活中我們可能不知道解的解析值，但是我們能夠證明它們的存在， 這一點(diǎn)也是很有意義的。 定義 若滿足下面條件我們則稱模型 是全局性吸引的 ①12lim ( ) ( ) 0t S t S t? ?? ??， ②12lim ( ) ( ) 0t L t L t? ?? ??， ③12lim ( ) ( ) 0t I t I t? ?? ??， ④12lim ( ) ( ) 0t R t R t? ?? ??。 St: 1lim in f ( ) 0ttt A s ds??? ?? ??， 2lim in f ( ) 0ttt k s ds??? ?? ??， 那么則有： ①：存在 N 和 n， 0 nN?? , 使得方程： () ( ) ( ) ( )dx t A t k t x tdt ?? （ ） 的任意正的解滿足此不等式 l i m i n f ( ) l i m s u p ( )ttn x t x t N?? ? ?? ?? ? ?, ②： 方程（ ）的定解全局吸收，且是一致的。 對(duì)于足夠大的 t 我們有 ( ) ( )LASt k? ， ( ) ( )LALt k? ， ( ) ( )LAIt k? ， ( ) ( )LARt k? 。 [ ( )] 0mAt ? , 0lk? 。 再令 0[ ( ) ] 1lim ( )Tt f d xTmt xf ? ??? ?， 0 ()infl tf f t??， 0 ()supLtf f t??， 01 ()Tf f s dsT? ? 。 定義 若滿足 liminf ( ) 0t It?? ?， 則稱染病者人數(shù)一直維持生存。 使得： 12l i m i n f ( ) l i m s u p ( )ttm I t I t m? ? ? ?? ? ?那么稱染病者人群是持續(xù)生存的。 在流感模型中，我們一般關(guān)注的重點(diǎn)是染病者這個(gè)群體，它是時(shí)間 t 的函數(shù)，考慮到極限問題，我們做出如下的定義： 定義 若 ()It 滿足 lim ( ) 0t It?? ? ， 則說明染病者隨著時(shí)間最終滅絕。 基本的定義，定理，公式 從實(shí)際情況來考慮我們知道各個(gè)函數(shù)的初始值都是非負(fù)的，且都是有界函數(shù)。 ?（ t）表示單位時(shí)間內(nèi)易感者人群和染病者人群的接觸率， ?（ t）表示單位時(shí)間內(nèi)潛伏者發(fā)病的概率， ? （ t）表示單位時(shí)間內(nèi)染病者的經(jīng)過有效治療后的康復(fù)率。 A（ t）在這里表示 t 時(shí)刻該地的人口增長率（包括人口的出生率，外來人口遷移率）。 N（ t）是表示t 時(shí)刻的總?cè)巳簲?shù)量（即易感者，潛伏者，感染者，康復(fù)者的總和）。 本文受劉彥麟論文的啟發(fā)，劉建立的是 SIR 模型，主要是以 H1N1 流感為模型而建立的，他的論文中詳細(xì)解決了 SIR 模型的非負(fù)性，以及染病者 I 的最終去向的問題，但我覺得在一個(gè)流感模型中應(yīng)該 還可以添加一個(gè)潛伏者這一類人群，因?yàn)檫@在現(xiàn)實(shí)中是存在的，所以我建立了下面的 SLIR 模型，在添加一個(gè)人群后再討論模型的非負(fù)性等問題。專家們認(rèn)為這種高致病性病毒有很強(qiáng)的人傳人的能力，且目前國內(nèi)外無這種病毒的疫苗。上海的兩名患者醫(yī)治無效死亡，安徽患者病情十分嚴(yán)重，正在接受搶救。 第二章 預(yù)備知識(shí) SLIR 模型的建立 H7N9 亞型禽流感病毒是甲型流感的一種。 政府為 了提高處理流感等流行病的能力，化被動(dòng)防治為主動(dòng)，最大限度的減少流行病造成的損失，保障人民的人身安全，維護(hù)國家和社會(huì)穩(wěn)定，保證經(jīng)濟(jì)，社會(huì)全面可持續(xù)的發(fā)展，加強(qiáng)傳染病動(dòng)態(tài)模型的研究就顯得十分有意義和必要。 20xx年 1 月 1 日，國家開始啟動(dòng)傳染病監(jiān)測網(wǎng)絡(luò)直報(bào)。 21 世紀(jì)以來，在我國有關(guān)部門的努力下，我國傳染病的死亡率和發(fā)病率都大幅下降。在亞洲和歐洲爆發(fā)的禽流感讓人們加大了對(duì)流感的關(guān)注度。而禽流感的研究也有巨大的意義，能減少巨大的農(nóng)業(yè)損失，使 當(dāng)?shù)鼗驀业慕?jīng)濟(jì)受禽流感的影響降到最低，有效的減少國家經(jīng)濟(jì)損失。 研究流行病的意義 流感動(dòng)態(tài)學(xué)模型的研究能夠幫我們更清楚明白流感或禽流感的傳播機(jī)制，從而又針對(duì)性的做出預(yù)防措施，隔離，接種疫苗等等。有效的隔離時(shí)間段是在流感剛開始爆發(fā)的時(shí)候，將染病者及與其有密切接觸者進(jìn)行隔離，這樣能夠十分有效的控制病情的傳播，且將 流感的危害降低到最低。而在后期，由于大部分人都已經(jīng)接種了疫苗，所以大家對(duì)流感的抵抗能力都增強(qiáng)了，染病者人群大幅減少，人們見疾病不在像早期那么可怕就不再注射疫苗。在接種疫苗時(shí)，民眾心理也是不斷變化的。最后一部分則是天然對(duì)該病毒有免疫能力，當(dāng)然這種人是很少的，這種人接種疫苗后也完全 是沒必要的。首先，因?yàn)榻臃N率并非百分之百，所以會(huì)造成一種大部分易感者獲得了免疫能力，而一部分接種后沒有獲得免疫能力，但疫情管理部門卻不知道到底有哪些人沒有有效接種疫苗，故此產(chǎn)生一個(gè)新的人群。 在未感染流感之前，我們有必要做好充分的防治措施，接種疫苗就是一種很有效的途徑。從 20xx 年上半年開始“ H7N9”便成為了網(wǎng)絡(luò)熱詞，這種高致病性的流感病毒嚴(yán)重的威脅著我們的生命安全，它從發(fā)現(xiàn)首例病例開始迅速蔓延至全國多個(gè)地方，奪取了很多鮮活的生命。 一旦高致病性的禽流感爆發(fā)后，首先要做的就是迅速撲殺所有感染了的禽類以及與他們接觸過的禽類，妥善處理禽鳥的尸體，將發(fā)生疫情的農(nóng)場和地區(qū)進(jìn)行隔離封鎖，限制國內(nèi)外的活禽交易，這樣做可以很有效的減少病毒的傳播和疾病的蔓延。 （實(shí)例） 世界糧農(nóng)組織 20xx 年八月二十九指出， H5N1 是一種高致病性的禽流感病毒，且能傳染給人類，在最近幾年有擴(kuò)散蔓延的趨勢，各國應(yīng)高度警示。出現(xiàn)上述的可能性的原因是隨著病毒的變異，它對(duì)人的感染也會(huì)變異，而且病毒一般在氣溫較高的秋夏季活性會(huì)減弱，對(duì)人的致病率也會(huì)大幅下降。 流感的流行也有“壽命”一說。禽流感由野禽傳給家禽，所以家禽是人感染禽流感的主要病源。由于氣候的變化，候鳥遷徙，這時(shí)攜帶流感病毒的禽鳥就是一個(gè)“移動(dòng)傳染源”。禽流感可在家禽，野生的禽類，甚至人群中傳播。在 4℃的溫度下，禽流感病毒能在糞便中存活一個(gè)月之久，但在高溫下（ 37℃左右時(shí)）卻只能存活一周左右。直接接觸禽流感病毒的毒株也會(huì)感染禽流感。 禽流感的傳播途徑和方式比較明顯。 一般的，禽流感只會(huì)在禽類之間傳播，很多家禽都易感染禽流感病毒， 其中雞和火雞是最易感染的禽類。在高致病性禽流感的傳播下，人類社會(huì)生活遭受了巨大的負(fù)面影響和經(jīng)濟(jì)損失。自上世紀(jì)中期以來至今，人類共記載了 20 多種高致病性的禽流感。其中非致病性和低致病性的危害都不是很大，只有高致病性十分嚴(yán)重。禽流感，全名鳥禽類流行性感冒，是由病毒引起的動(dòng)物傳染病，通常只感染鳥類，禽流感病毒高度針對(duì)特定物種，但在罕有情況下會(huì)跨越物種障礙感染人 [5]。這些科學(xué)的復(fù)雜性，使得人們越來越習(xí)慣用新思想來思考和看待復(fù)雜問題。 近年來，隨著社會(huì)的不斷進(jìn)步和發(fā)展，科學(xué)技術(shù)日漸成熟，且越來越多的在眾多領(lǐng)域中得到應(yīng)用。引起人感染豬流感病毒的“罪魁禍?zhǔn)住笔莵喰?H1N1 病毒， 37 例中有33 例都是由 H1N1 引起的，占比為 %只有 4 例是由 H3N2 引起的。上個(gè)世紀(jì) 50 年代末到本世紀(jì)初的這 50 年中，全球共出現(xiàn)了 37 例人感染豬流感的病例。感染這種病毒后的主要癥狀和普通人流感癥狀類似，包括頭痛，發(fā)燒，咳嗽，喉嚨疼，疲乏無力等等。 流感的背景 流感的近現(xiàn)代史 當(dāng)由墨西哥引發(fā)的豬流感席卷全球，引起各國的高度重視和警覺 ,隨著感染人數(shù)的不 斷增加，世界衛(wèi)生組織最終將此次流感大流行警告級(jí)別提升到 6 級(jí)。丙型相對(duì)來說不重要，很少引起大 流行 [3]?，F(xiàn)實(shí)中流感流行的主因主要是甲型。 流感的分類 根據(jù)流感病毒感染的對(duì)象，我們可將流感病毒分為：人類流感病毒、豬流感病毒、馬流感病毒以及禽流感病毒等。每當(dāng)大家一談到流行病的時(shí)候，腦子里的第一反應(yīng)就是流感，這是因?yàn)榇蠹覍?duì)兩者的定義沒有弄明確。該病是由流感病毒引起流行性感冒，病毒屬正粘病毒科，直徑 80～ 120nm，球形或絲狀 [2]。典型的臨床癥狀是：急起高熱、全身疼痛、顯著乏力和輕度呼吸道癥狀。 而流感是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一種傳染性強(qiáng)、傳播速度快的疾病。歐洲語言中，辭源均來自希臘語。 ............................................................................................ 17 章節(jié)總結(jié)： .........................................................................................