【正文】 不滿足，就不能計(jì)算所要研究的問題；滿足了，才有必要詳細(xì)地研究差分格式。 因此，時(shí)間差分格式和空間差分格式的選擇必須滿足一定的標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)差分逼近的一致性，收斂性和穩(wěn)定性，這將在下面介紹。由于不同的差分格式具有不同的內(nèi)在性質(zhì)，與原微分方程有不同的近似關(guān)系，呈現(xiàn)不同的數(shù)值效應(yīng)。實(shí)際應(yīng)用中一些差分格式的給出遠(yuǎn)復(fù)雜得多。取時(shí)間步長為 t? ，在點(diǎn) ? ?ni tx, 上可得到時(shí)間偏導(dǎo)數(shù) nitu???????? 的差分表達(dá)式： Rt uutuninini?????????? ?? ?1 ， ）（ t??OR ， （ ） Rtuutuninini?????????? ?? ?1， ）（ t??OR ， （ ） Rtuutuninini?????????? ?? ?? 2 11 ， ）（ 2OR t?? ， （ ） Rt uuutunininini?? ????????? ?? ?? 2 11 2， ）（ 2OR t?? ， （ ） 式（ ），（ ）分別是時(shí)間向前差分、時(shí)間向后差分，式（ ），式（ ）分別為時(shí)間一階和二階導(dǎo)數(shù)的中央差分格式。二階導(dǎo)數(shù) x xuxuxuxxu ii??????? ????????? ????????? ??????? ?? 212122 ， 再用中央差分21????????? ixu ，21????????? ixu ，就可得到表達(dá)式（ ）。將式（ ），（ ）相減： ?????????????? !3 )(22),(),( 333 xxuxxutxxutxxu ?， ?????? ???????? !3 )(2 ),(),( 333 xxux txxutxxuxu ?， Rxuuxuninini?????????? ?? ??2 11 ， 2OR ）（ x?? ， （ ) 式（ ）為一階導(dǎo)數(shù) xu?? 的中央差分，精度為二階。由于在所研究的海洋、大氣問題中，實(shí)際使用的空間步長 x? 與方程所描述的特征尺度運(yùn)動相比是一個(gè)非常小的量，所以可以將函數(shù) ),( txu 展開為泰勒級數(shù)： ? ? ???????????????? !3 )(!2),(),( 333222 xx uxx uxxutxutxxu ?， （ ） ? ? ?????????????? !3 )(!2),(),( 333222 xx uxx uxxutxutxxu ?， （ ） 由式（ ）和式（ ）可得： ?????? ?????? !2),(),(22 xxux txutxxuxu ? Rx txutxxu ?? ???? ),(),( ， （ ） ?????? ????? !2),(),(22 xxux txxutxuxu ? Rx txxutxu ?? ???? ),(),( ， （ ） 式中 R 稱為截?cái)嗾`差，表示差分的精度，以階表示 ）（ x??OR ， x? 的方次表示階的大小，浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概 念 11 如上式是一階精度。即在時(shí)空的參考點(diǎn) ? ?ni tx,上，把方程（ ）寫成離散的形式，構(gòu)成差分方程。 以上是等間距網(wǎng)格，在河口海岸區(qū)域，由于河道分叉、岸線復(fù)雜，現(xiàn)在趨向采用非等間距曲線網(wǎng)格，涉及網(wǎng)格正交、加密技術(shù)，以及自適應(yīng)網(wǎng)格等問題，也是目前比較感興趣的研究課題。編號為 ? ?ji, 的網(wǎng)格點(diǎn) ? ?ji yx, 其坐標(biāo)表示為 xixi ?? ? ?Mi ,...,1,0? ， yjyi ?? ? ?Nj ,...,1,0? ， （ ） 函數(shù) ),( yxuu? 的值在 ? ?ji, 點(diǎn)表示為 ),(),(, yjxiuyxuu jiji ???? （ ） 對時(shí)間離散，也取一適當(dāng)?shù)姆指铋g隔 t? ，稱為時(shí)間步長，其分割點(diǎn)記為 tntn ?? （ n=0， 1，?，K）。取適當(dāng)?shù)拈g隔 x? 和 y? 的平行線組進(jìn)行分割，平行線組的全部叫網(wǎng)格線群，該交點(diǎn)被稱為網(wǎng)格點(diǎn)， x?和 y? 分別叫做在 x方向和 y 方向的晶格距離 [10]。如果給定邊界條件及初始 0t 時(shí)刻的值 ),( txu ，就可以計(jì)算出在這些格點(diǎn)上以后時(shí)刻的 u 值。 解域的離散化與差分網(wǎng)格的建立 在海洋運(yùn)動中，平流過程是很重要的，表征其特征的一維線性平流方程為 0?????? xuctu ， （ ） 式中， u 是兩個(gè)自變量 x,t 的函數(shù) ),( txu ； c 為常數(shù)。 在比較中，有限差分法是最成熟 的方法 ， 也是現(xiàn)在 最常見 的應(yīng)用。計(jì)算海洋動力學(xué)的各種方法既十分豐富，也十分復(fù)雜，為了能較好地掌握計(jì)算的基本理論，并具備一定的研究與開發(fā)能力，本章給出計(jì)算海洋動力學(xué)中的一些計(jì)算技術(shù)與方法。 隨著計(jì)算機(jī)性能的提高，計(jì)算方法的不斷發(fā)展和完善，電子計(jì)算機(jī)的可用性，仿真和實(shí)驗(yàn)手段，各種海洋動力學(xué)問題 都可求得數(shù)值解。因此解決計(jì)算機(jī)海洋動力學(xué)問題仍然需要借 助比較簡單的線性問題的嚴(yán)格數(shù)學(xué)分析，并依靠物理直觀、實(shí)際海洋現(xiàn)場的啟發(fā)和計(jì)算機(jī)上的數(shù)值試驗(yàn)來進(jìn)行。 數(shù)值計(jì)算是一種離散的近似方法，是在計(jì)算機(jī)上的一種模擬。理論分析和數(shù)值計(jì)算就是以實(shí)驗(yàn)研究為基礎(chǔ)的。 試驗(yàn)研究是為了能夠確定一些系數(shù)和驗(yàn)證理論結(jié)果。然而 理論分析方法是間接的方法，任何間接的方法都可能 在 中間環(huán)節(jié)出現(xiàn)錯(cuò)誤，從而導(dǎo)致論證 分析 失敗。理論方法 是 一種重要的分析論證方法。 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概 念 9 2. 有限差分法基本概念 研究海洋運(yùn)動方法一般有：理論分析、實(shí)驗(yàn)研究、數(shù)值計(jì)算 [7]。這些解被用于研究海洋動力 學(xué)過程，其中包括波動。由于這些方程幾乎不可能求解，所以必須使方程簡化。然而，我們發(fā)現(xiàn)它們是非線性的偏微分方程，一般情況下這是無解析解的；即使對于一個(gè)十分簡單的流動也難以得到解析解。不過，還需 pwvu , 的邊界條件。而對于不可壓縮流動，其連續(xù)方程則變?yōu)椋? 0????????? zwyvxu （ ） 方程（ ）和方程（ ）構(gòu)成了一個(gè)由四個(gè)方程組成的方程組即 NS 方程組，其中三個(gè)是運(yùn)動方程，一個(gè)是連續(xù)方程。 在海洋中，我們可 以認(rèn)為流動是不可壓縮的。 連續(xù)方程的導(dǎo)出 z uu?? ?,u ???? z? y? y x? x 圖 控制體 歐拉形式的連續(xù)方程通常采用圖 所示的控制體。而式（ )中 ?cos2 u? 與 g 相比很小，因而在海洋動力學(xué)上可以被忽略。 在笛卡兒坐標(biāo)系中，把式（ ）運(yùn)動方程展開，可得： ???????? ???????????????222222s i n21DD z uy ux uvxptu ???? （ ） ???????? ???????????????222222s i n21DD z uy ux uuyptv ???? （ ） ???????? ????????????????222222c os21DD zuyuxuguzptw ???? （ ） 式（ ）中的最后一項(xiàng)是摩擦力，又稱為分子粘性； ? 是緯度。 于是，由式（ ）和式（ ）可得： ????? ???????????? VgVptV ????? 3121DD （ ） 式中： ????? V ， ? 是分子摩擦系數(shù)，是由分子動量交換引起； ? 為地球轉(zhuǎn)動角速度，即浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 海洋動力學(xué)基本方程的推導(dǎo) 7 每日 2? ， ????V2 為科氏力； ?g 是單位質(zhì)量的重力。故在固定的地球坐標(biāo)系研究海水運(yùn)動時(shí)，還應(yīng)當(dāng)考慮科氏力 [6]的作用。而重力產(chǎn)生壓力，海洋 各處的重力是不同的，所以壓力也是不同的，從而在同一水平面上產(chǎn)生了橫向的壓強(qiáng)梯度力。與剛體一樣，流體也必須滿足牛頓第二定律。同理，考慮三維問題時(shí)，就可令 v 和 w 分別是 y 和 z 方向的速度，則可得 zqwyqvxqutqtq ????????????DD （ ） 其實(shí)，式（ ）就是用歐拉方法表示的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。除以控制體中的質(zhì)量 m? ，得到 x方向的加速度： xpmxpa x ???????? ???? 1 （ ） 考慮三維問題，得流水所受壓強(qiáng)梯度力的加速度為 pa ?????1 () 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)出 如圖 所示，先以流量為例考慮一維流動，令 inq 和 outq 分別為控制體左、右兩側(cè)的流入、流出量。這些方程將用于研究海水的運(yùn)動。在計(jì)算海水運(yùn)動時(shí)， 我們還要考慮由質(zhì)量不滅、鹽量守恒、動量守恒、能量守恒和機(jī)械能守恒定律和由此建立的方程 [5]。與剛體一樣，流體也必須滿足牛頓第二定律，由此可以建立流體的運(yùn)動方程。海浪表面二維線性波動的基本方程 是由 N— S方程假定邊界條件后推導(dǎo)出來的，也是求解 N— S方程的基礎(chǔ)。如果波從左向右傳播，則流體質(zhì)點(diǎn)做順時(shí)針運(yùn)動。最終的出結(jié)論：水質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為橢圓。 第二章主要介紹了有限差分方法的基本概念，差分格式的建立及其基本性質(zhì)，如相容性、收斂性和穩(wěn)定性等，一些偽物理效應(yīng)及訂正，并說明它們的意義及分析方法，為理解和掌握差分格式的設(shè)計(jì)方法提供必要的基礎(chǔ)知識， 能讓讀者更加清晰的了解 NS方程的求解方法。 第一章主要介紹了海洋動力學(xué)基本方程的推導(dǎo)過程，推導(dǎo)出由三個(gè)運(yùn)動方程和一個(gè)連續(xù)方程構(gòu)成的 NS 方程組。如果波從左向右傳播，則流體質(zhì)點(diǎn)做順時(shí)針運(yùn)動。最終得出結(jié)論：水質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為橢圓。最后，本文用 NS方程研究理想的規(guī)則波動（正弦波和斯托克斯波等），視海水不可壓且運(yùn)動無旋，以此說明實(shí)際海洋中 發(fā)生的一些比較規(guī)則的波動現(xiàn)象。 本文的目的就是為了幫助對 NS 方程有興趣的讀者 掌握海洋動力學(xué)基本方程的物理意義和數(shù)學(xué)推導(dǎo) ，希望在此基礎(chǔ)上能夠建立一個(gè)最簡單的物理模型，進(jìn)行求解，來把握最主要的物理內(nèi)涵和規(guī)律。因此我們要研究 NS方程的有效的數(shù)值解法。 NS 方程是一個(gè)非線性對流擴(kuò)散偏微分方程 [4]。但 是，在實(shí)踐中，這些方程是受到一定的限制，往往不能與深度的比較揭示能量耗散過程和流體動力結(jié)構(gòu)的湍流運(yùn)動。 在一些假設(shè)的邊界條件后， NS方程進(jìn)行了簡化，能產(chǎn)生大量的滿足工程實(shí)際的需要的應(yīng)用型方程。關(guān)鍵的差異在于引入了在地球上非常重要的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)項(xiàng)，以及適用于球面薄層