【正文】 相容的差分方程的解 之差 ，當(dāng) ， →0 時(shí)，在解區(qū)中niuniUniiu?x滿足 max →0 ，則稱差分格式是是收斂的，這就是累積誤差與收斂性的問題。差分方程截?cái)嗾`差寫成一般形式： 　　 ， ????xtOTr???（）， 為相容性的階，在時(shí)間上有 階的精度，在空間上有 階的精度。當(dāng) ， 時(shí)，1M????????2tu2M?????????????2133??xu0?t?x→0，歐拉差分格式（）逼近微分方程（ ） ，我們稱這種方程具有相容性或一致nirT性。 213322 ???????????????????????txct（）上式中右邊第一項(xiàng)是由時(shí)間差分引起的截?cái)嗾`差，第二項(xiàng)是由空間差分引起的截?cái)嗾`差，總的誤差記為 。 　　 ， 0???xuct（） 　　 ， 0???nixnituc（）式（）差分格式稱為歐拉格式，其中差分符號(hào) ??tt???1,? ， tuniinit??（） ， tuniinit????210（） 其他差分符號(hào)也在這里定義如下： ， tuniinit????1（）浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概念 14 ， tuniinit????10（） ， xuniinix????1（） ， uniinix????1（） 在時(shí)間上，將 時(shí)刻的 在 時(shí)刻作泰勒展開：1?n1?nu 　 　 ， ， ??????????2)(tutii ??tnt??1,（） 　　 ， ?????????????21tuttunii（） 在空間上將 在 網(wǎng)格點(diǎn)作泰勒展開：ui 　　　 ， ， 1321 6????????????????????????xuxutuxiiii ??1,??ix?（） 　　 ， ， 2321 6????????????????????????xuxuxuuiiii ??11,?ix?（） 。這是一個(gè)最基本的條件，如果不滿足，就不能計(jì)算所要研究的問題；滿足了，才有必要詳細(xì)地研究差分格式。因此，時(shí)間差分格式和空間差分格式的選擇必須滿足一定的標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)差分逼近的一致性，收斂性和穩(wěn)定性，這將在下面介紹。由于不同的差分格式具有不同的內(nèi)在性質(zhì)，與原微分方程有不同的近似關(guān)系，呈現(xiàn)不同的數(shù)值效應(yīng)。實(shí)際應(yīng)用中一些差分格式的給出遠(yuǎn)復(fù)雜得多。取時(shí)間步長(zhǎng)為 ，在點(diǎn) 上可得到時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)t???nit,的差分表達(dá)式：nitu??????? ， ， Rtutniini??????????1 ）（ t??O（） ， ， tutniini?????????1 ）（ t（） ， ， Rtutniini ??????????21 ）（ 2Ot??（） ， ， tutuniinii??????????211 ）（ 2t（）式（） ， （）分別是時(shí)間向前差分、時(shí)間向后差分，式（） ，式（）分別為時(shí)間一階和二階導(dǎo)數(shù)的中央差分格式。二階導(dǎo)數(shù)，xuxuii??????????????????21212再用中央差分 ， ，就可得到表達(dá)式（） 。將式（） ， （）相減： …，???????!3)(2),(),( xuxtxutx …， ??23 ， ， Rxuniini?????????1 2OR）（ x??（)式（）為一階導(dǎo)數(shù) 的中央差分，精度為二階。??nitx,由于在所研究的海洋、大氣問題中，實(shí)際使用的空間步長(zhǎng) 與方程所描述的特征尺度運(yùn)動(dòng)x?相比是一個(gè)非常小的量，所以可以將函數(shù) 展開為泰勒級(jí)數(shù)：),(txu 　　 …， ????????? !3)(!2,),( xutxu（） 　　　 …， ??????!3)(!2),(,( xuxuttxu（）由式（）和式（）可得：浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概念 11 … ， ????????!2),(,(xuxttux Rxtut????),(,(（） … ， !),(),2xtt tt),(),（）式中 R 稱為截?cái)嗾`差，表示差分的精度，以階表示 ， 的方次表示階的大小，）（ x??OR如上式是一階精度。即在時(shí)空的參考點(diǎn)上，把方程（ ）寫成離散的形式，構(gòu)成差分方程。tn??以上是等間距網(wǎng)格，在河口海岸區(qū)域，由于河道分叉、岸線復(fù)雜，現(xiàn)在趨向采用非等間距曲線網(wǎng)格，涉及網(wǎng)格正交、加密技術(shù)，以及自適應(yīng)網(wǎng)格等問題，也是目前比較感興趣的研究課題。編號(hào)為 的網(wǎng)格點(diǎn) 其坐標(biāo)表示為??ji,??ji, ，xi????Mi,.10 　　 ， yji??Nj,.10?（） 函數(shù) 的值在 點(diǎn)表示為),(yxu???ji, ),(),(, yjxiuyxujiji ??（）對(duì)時(shí)間離散，也取一適當(dāng)?shù)姆指铋g隔 ，稱為時(shí)間步長(zhǎng)，其分割點(diǎn)記為t?（n=0，1，…，K） 。取適當(dāng)?shù)膞y間隔 和 的平行線組進(jìn)行分割，平行線組的全部叫網(wǎng)格線群，該交點(diǎn)被稱為網(wǎng)格點(diǎn)，?和 分別叫做在 x 方向和 y 方向的晶格距離 [10]。如果給定邊界條件及初始 時(shí)刻的值 ，就可以計(jì)算出在這些格0t),(txu點(diǎn)上以后時(shí)刻的 值。 解域的離散化與差分網(wǎng)格的建立 在海洋運(yùn)動(dòng)中，平流過程是很重要的，表征其特征的一維線性平流方程為 　　 ， 0???xuct（）浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概念 10式中，u 是兩個(gè)自變量 x,t 的函數(shù) ；c 為常數(shù)。在比較中，有限差分法是最成熟的方法，也是現(xiàn)在最常見的應(yīng)用。計(jì)算海洋動(dòng)力學(xué)的各種方法既十分豐富，也十分復(fù)雜，為了能較好地掌握計(jì)算的基本理論，并具備一定的研究與開發(fā)能力，本章給出計(jì)算海洋動(dòng)力學(xué)中的一些計(jì)算技術(shù)與方法。隨著計(jì)算機(jī)性能的提高，計(jì)算方法的不斷發(fā)展和完善，電子計(jì)算機(jī)的可用性，仿真和實(shí)驗(yàn)手段，各種海洋動(dòng)力學(xué)問題都可求得數(shù)值解。因此解決計(jì)算機(jī)海洋動(dòng)力學(xué)問題仍然需要借助比較簡(jiǎn)單的線性問題的嚴(yán)格數(shù)學(xué)分析，并依靠物理直觀、實(shí)際海洋現(xiàn)場(chǎng)的啟發(fā)和計(jì)算機(jī)上的數(shù)值試驗(yàn)來進(jìn)行。數(shù)值計(jì)算是一種離散的近似方法，是在計(jì)算機(jī)上的一種模擬。理論分析和數(shù)值計(jì)算就是以實(shí)驗(yàn)研究為基礎(chǔ)的。試驗(yàn)研究是為了能夠確定一些系數(shù)和驗(yàn)證理論結(jié)果。然而理論分析方法是間接的方法，任何間接的方法都可能在中間環(huán)節(jié)出現(xiàn)錯(cuò)誤，從而導(dǎo)致論證分析失敗。理論方法是一種重要的分析論證方法。浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概念 92. 有限差分法基本概念研究海洋運(yùn)動(dòng)方法一般有：理論分析、實(shí)驗(yàn)研究、數(shù)值計(jì)算 [7]。這些解被用于研究海洋動(dòng)力學(xué)過程，其中包括波動(dòng)。由于這些方程幾乎不可能求解，所以必須使方程簡(jiǎn)化。然而，我們發(fā)現(xiàn)它們是非線性的偏微分方程，一般情況下這是無解析解的；即使對(duì)于一個(gè)十分簡(jiǎn)單的流動(dòng)也難以得到解析解。不過，還需 的邊界條件。而對(duì)于不可壓縮流動(dòng)，其連續(xù)方程則變?yōu)椋? 0???zwyvxu（） 方程（）和方程（）構(gòu)成了一個(gè)由四個(gè)方程組成的方程組即 NS 方程組，其中三個(gè)是運(yùn)動(dòng)方程，一個(gè)是連續(xù)方程。 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 海洋動(dòng)力學(xué)基本方程的推導(dǎo) 8在海洋中，我們可以認(rèn)為流動(dòng)是不可壓縮的。 連續(xù)方程的導(dǎo)出 z u?? ?,u? ?y xy 圖 控制體 歐拉形式的連續(xù)方程通常采用圖 所示的控制體。而式（)中 與 相比很小，因而在海cos2 cos2u?g洋動(dòng)力學(xué)上可以被忽略。在笛卡兒坐標(biāo)系中，把式（）運(yùn)動(dòng)方程展開，可得： ?????????????22sin21Dzuyxvxptu????（） ????????22sin21zuyxuyptv（） ??????????????? 22cos21Dzuyxguzptw????（）式（）中的最后一項(xiàng)是摩擦力，又稱為分子粘性； 是緯度。于是，由式（）和式（）可得：浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 海洋動(dòng)力學(xué)基本方程的推導(dǎo) 6 ????????????VgVptV???3121D（）式中： ， 是分子摩擦系數(shù)，是由分子動(dòng)量交換引起； 為地球轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，即?????V?每日 2 ， 為科氏力； 是單位質(zhì)量的重力。故在固定的地球坐標(biāo)系研究海水運(yùn)動(dòng)時(shí)，還應(yīng)當(dāng)考慮科氏力 [6]的作用。而重力產(chǎn)生壓力，海洋各處的重力是不同的，所以壓力也是不同的，從而在同一水平面上產(chǎn)生了橫向的壓強(qiáng)梯度力。與剛體一樣，流體也必須滿足牛頓第二定律。同理，考慮三維問題時(shí)，就可令 和 分別是 和vwy方向的速度，則可得z zqyxqut????D（）其實(shí)，式（）就是用歐拉方法表示的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。除以控制體中的質(zhì)量 ，得到 x 方向的加速度：? m xpa????1（） 考慮三維問題，得流水所受壓強(qiáng)梯度力的加速度為 ()pa?????1 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)出如圖 所示，先以流量為例考慮一維流動(dòng)，令 和 分別為控制體左、右兩側(cè)的流inqout浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文