【正文】 O為真時(shí).當(dāng)給定的顯著水平為α?xí)r，查F分布表求得臨界值與，若此數(shù)值落入拒絕域W內(nèi)，則作出拒絕HO的決策，否則，討論單邊檢驗(yàn)問題.（1）單正態(tài)總體，方差已知，均值μ的單邊檢驗(yàn)設(shè)x1，x2，?，xn為正態(tài)總體X～N（μ，σ）的一個(gè)樣本，σ已知，欲檢驗(yàn)假設(shè)HO：μ≤μO，H1：μμO，其中，故當(dāng)HO為真時(shí)，不應(yīng)過大，若u過大，應(yīng)拒絕HO，即，～，故待定數(shù)值，即臨界值uα應(yīng)滿足，其中，α為顯著水平，Oμ0，仍取計(jì)量，得到拒絕域?yàn)?W=（∞，）.為檢驗(yàn)統(tǒng)（2）對(duì)于單正態(tài)總體，方差未知的情況。那么，確定多大范圍算作小概率呢？選擇一個(gè)小數(shù)α（0應(yīng)用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布和顯著水平，可以求出小概率事件發(fā)生和不發(fā)生的臨界值，一部分是原假設(shè)成立的取值范圍，稱為接受域；另一部分是使小概率事件發(fā)生的統(tǒng)計(jì)量取值范圍，即拒絕原假設(shè)的范圍，稱為拒絕域，第一類錯(cuò)誤是：在H0為真的情況下，樣本值落入拒絕域W，“拒真”錯(cuò)誤，：在H0為不真的情況下，樣本值落入接受域，“取偽”錯(cuò)誤，犯這類錯(cuò)誤的概率是β.（2）如何減小犯錯(cuò)誤的可能？①，犯一類錯(cuò)誤的概率的減小將導(dǎo)致犯另一類錯(cuò)誤的概率增加.②要同時(shí)降低犯兩類錯(cuò)誤的概率，先控制α值，再盡可能減少β值，并把這一檢驗(yàn)方法稱為顯著性水平為α的顯著性檢驗(yàn)，（1）提出假設(shè)：根據(jù)實(shí)際問題提出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1，要求H0與H1有且僅有一個(gè)為真.（2）選統(tǒng)計(jì)量：選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并在原假設(shè)H0成立的條件下確定該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布.（3）求拒絕域：根據(jù)給定的顯著水平α，查檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布表，求出對(duì)應(yīng)于α的臨界值，從而得到對(duì)原假設(shè)H0的拒絕域W.（4）作出決策：計(jì)算樣本的統(tǒng)計(jì)量的值，若落入拒絕域W，則認(rèn)為H0不真，拒絕H0，接受備擇假設(shè)H1；否則，（在其他書上也稱Z檢驗(yàn)）（1）單正態(tài)總體，方差已知，均值的檢驗(yàn)(小樣本情況下)22設(shè)x1，x2，?，xn為正態(tài)總體N（μ，σ）的一個(gè)樣本，σ已知，欲檢驗(yàn)假設(shè)H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0，其中，并且，在H0成立的條件下，u～N（0，1）.當(dāng)給定的顯著水平為α?xí)r，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求得臨界值絕域.，從而得到拒（2）雙正態(tài)總體，方差已知，均值差的檢驗(yàn)(小樣本情況下)設(shè)總體X～，Y～，其中，已知，又x1，x2，?，xm和y1，y2，?，yn分別為X和Y的樣本， H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2.～.當(dāng)給定的顯著水平為α?xí)r，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求得臨界值.，從而得到拒絕域（1）（2）由樣本觀察值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量u的觀察值，若此數(shù)值落入拒絕域W內(nèi)，則作出拒絕H0的決策，否則，（1）單正態(tài)總體，方差未知，均值的檢驗(yàn)22設(shè)x1，x2，?，xn為正態(tài)總體N（μ，σ）的一個(gè)樣本，σ未知，欲檢驗(yàn)假設(shè) H0：μ=μ0，H1：μ≠，由點(diǎn)估計(jì)知，s是σ的無偏估計(jì)，考慮用s代替σ，構(gòu)造新的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 2.當(dāng)給定的顯著水平為α?xí)r，查t分布表求得臨界值.，從而得到拒絕域由樣本觀察值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量t的觀察值，若此數(shù)值落入拒絕域W內(nèi)，則作出拒絕H0的決策，否則，接受H0.（2）雙正態(tài)總體，方差未知，均值差的檢驗(yàn)設(shè)總體X～Y的樣本，且相互獨(dú)立.① 方差未知，但.欲檢驗(yàn)H0：μ1=μ2，H1：μ1≠，Y～，x1，x2，?，xm和y1，y1，?，yn分別為X和計(jì)量著水平為α?xí)r，查t分布表求得臨界值～，從而得到拒絕域..當(dāng)給定的顯由樣本觀察值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量t的觀察值，若此數(shù)值落入拒絕域W內(nèi)，則作出拒絕H0的決策，否則，接受H0.（2）方差未知，但m=n（配對(duì)問題）.欲檢驗(yàn)H0：μ1=μ2，H1：μ1≠ Zi=XiYi，i＝1，2，?，n，由正態(tài)分布的可加性，Zi也服從正態(tài)分布總體的樣本，則有E（Zi）=E（XiYi）=μ1μ2=d，2，上式中所設(shè)的d，σ均未知，但所設(shè)的假設(shè)等價(jià)于下述假設(shè)：H0：d=0，H1：d≠，其中，.在H0為真，從而得到時(shí)，t～t（n1）.當(dāng)給定的顯著水平為α?xí)r，查t分布表求得臨界值拒絕域.由樣本觀察值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量t的觀察值，若此數(shù)值落入拒絕域W內(nèi)，則作出拒絕H0的決策，否則，單正態(tài)總體，均值未知，方差的檢驗(yàn)設(shè)x1，x2，?，xn為正態(tài)總體N（μ，σ）的一個(gè)樣本，μ未知，欲檢驗(yàn)假設(shè)HO：，H1：，其中，s是σ的無偏估計(jì)，22即當(dāng)HO為真時(shí)，s應(yīng)該在σ附近波動(dòng)，則22應(yīng)該在1附近波動(dòng)；如果的值與1相比過大或過小，都應(yīng)否定HO，167。 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估價(jià)的兩點(diǎn)不足：① 很難準(zhǔn)確；② 沒有用數(shù)量表示的可信度。2相合性判定定理：設(shè)，則稱無偏性 定義：設(shè)是θ，若，是θ的一個(gè)估計(jì)，θ的參數(shù)空間為，若對(duì)任意，有，則稱為θ的無偏估計(jì)；： ①是的無偏估計(jì) ②即是σ的漸進(jìn)無偏估計(jì)；③s是σ的無偏估計(jì)；2④ 若為θ的無偏估計(jì)，一般地，除gθ是θ的線性函數(shù)外，所以，無偏性沒有不變性。（二）連續(xù)型隨機(jī)變量若X～f（x,）第一步 從總體X取出樣本x1,x2,?,xn 第二步 構(gòu)造似然函數(shù)L（x1,x2,?,xn，）＝f（x1，）f（x2，）?f（xn，）第三步 計(jì)算ln L（x1,x2,?,xn，）并化簡(jiǎn)第四步 當(dāng)＝時(shí)ln L（x1,x2,?,xn，）取最大值則?。?常用方法是微積分求最值的方法二項(xiàng)分布：設(shè)總體X～B（1，P）即抽樣x1,x2,?,xn，問最大似然法求設(shè)P（A）＝，從總體X中是最大點(diǎn) ∴取例抽樣n次A發(fā)生m次，則在x1，x2?xn中有m個(gè)1，其余為0，∴設(shè)總體X服從泊松分布p（），求的極大似然估計(jì)；p（X=k）=解得的極大似然估計(jì)易知的矩估計(jì)亦為設(shè)總體X服從指數(shù)分布E（），求的極大似然估計(jì)X～E（）∴設(shè)，即從中取樣x1，x2?xn，試用最大似然法求若,從中抽樣x1，x2?xn，試用最大似然估計(jì)法求：，駐點(diǎn)，的極大似然估計(jì)為，給出的極大似然估計(jì)極大似然估計(jì)的一個(gè)簡(jiǎn)單而有用的性質(zhì)：若是θ的極大似然估計(jì)，則對(duì)任一θ的函數(shù)g（θ）, 它的極大似然估計(jì)為相合性 定義：設(shè)為未知參數(shù)，這就是極大似然估計(jì)的不變性。（1）定義：設(shè)x1, x2，?，xn為總體X的樣本，則它關(guān)于的平均偏差平方和稱為樣本方差；，稱為樣本偏差平方和，它有3個(gè)不同的表達(dá)式：＝樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差, 以及樣本方差的期望定理：設(shè)x1, x2，?，xn為總體X的樣本，具有二階矩，即E（X）= μ，D（X）= σ，和2s分別為樣本的均值和方差，則2，E（s）=σ此定理表明，樣本均值22的均值與總體均值相同，而樣本均值的方差是總體方差的1/定義：設(shè)x1, x2，?，xn為總體X的樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量為樣本k階原點(diǎn)矩；稱統(tǒng)計(jì)量2，但本書中樣本表示，以示區(qū)別 方差s不是樣本k階中心矩，而用順序統(tǒng)計(jì)量定義：設(shè)總體X的分布函數(shù)為F（x），分布密度為f（x），樣本為x1, x2，?，xn，則稱 x（1）=min{x1, x2，?，xn}和x（n）=max{x1, x2，?，xn}為此樣本的極小順序統(tǒng)計(jì)量和極大順序統(tǒng)計(jì)量定理：設(shè)總體X的分布函數(shù)為F（x），分布密度為f（x），樣本為x1, x2，?，xn，x（1），x（n）為樣本的極小、極大順序統(tǒng)計(jì)量，則x（1）的分布密度為f1（x）=n（1F（x））n1f（x），x（n）的分布密度為fn（x）=nFn1（x）f（x）正態(tài)總體的抽樣分布（1）分布① 定義：設(shè)X1, X2，?，Xn為相互獨(dú)立且服從同分布N（0,1）的隨機(jī)變量，則統(tǒng)計(jì)量的分布稱為自由度為n的分布，記為.②求法：反查（2）F分布 分布的α分位點(diǎn)：當(dāng)隨機(jī)變量的分布表時(shí)，對(duì)給定的α∈（0，1），稱滿足① 定義：設(shè)X1，X2相互獨(dú)立，且，則稱的分布為自由度為m與n的F分布，記為F～F（m,n）, 其中m稱為分子自由度，n稱為分母自由度.② F分布的α分位點(diǎn)：當(dāng)隨機(jī)變量F～F（m,n）時(shí)，對(duì)給定的α∈（0，1），稱滿足P{FFα（m,n）}= α 的Fα（m,n）為自由度為m與n的F分布的α分位點(diǎn).③ F分布的α分位點(diǎn)的性質(zhì)：若F～F（m,n），則1/F～F（n,m）.從這個(gè)性質(zhì)可以推出④ 求法：當(dāng)α較小時(shí)，分位點(diǎn)Fα（m,n）可直接從附表5中查得，而分位點(diǎn)F1α（m,n）可通過上式查得（3）t分布① 定義：設(shè)X1，X2相互獨(dú)立，且X1～N（0,1），為自由度為n的t分布，記為t～t（n），則稱的分布② t分布的α分位點(diǎn)：當(dāng)隨機(jī)變量t～t（n）時(shí)，對(duì)給定的α∈（0，1），稱滿足 P{ttα（n）}= α的tα（n）為自由度為n的t分布的α分位點(diǎn).③ t分布α分位點(diǎn)的性質(zhì)：由于t分布的密度函數(shù)關(guān)于0對(duì)稱，則有t1α（n）=t α（n）.④ 求法：同上（4）一些重要結(jié)論定理：設(shè)x1, x2，?，xn是來自正態(tài)總體N（μ，σ）樣本，其樣本均值與方差分別為和，則有 ①與s相互獨(dú)立；②；③.（推論6－1）推理6－2 設(shè)x1, x2，?，xm是來自的樣本，y1, y2，?，yn是來自的樣本，記，其中，則有；特別的，若，則 推理6－3 在推理6－2的條件下，設(shè)，并記則第七章 參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的兩種常用方法（1）替換原理和矩法估計(jì)① 替換原理：替換原理常指如下兩句話：一是：用樣本矩替換總體矩；二是：用樣本矩的函數(shù)替換相應(yīng)的總體矩的函數(shù).② 矩估計(jì)的方法：根據(jù)替換原理，用樣本矩或樣本矩的函數(shù)對(duì)總體的矩或矩的函數(shù)進(jìn)行估計(jì)。可見Cov（X,Y）=0是X與Y相互獨(dú)立的必要非充分條件。 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)定義：設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y），且E（X），E（Y）存在，如果E[（XE（X））（YE（Y））]存在，則稱之為X與Y的協(xié)方差，記為cov（X,Y），即cov（X,Y）=E[（XE（X））（YE（Y））].（2）若離散型二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布律為則.（3）若連續(xù)型二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為f（x,y），則.，（i,j＝1，2，?），（4）計(jì)算公式：cov（X,Y）=E（XY）E（X）E（Y）特例：當(dāng)X=Y時(shí)，cov（X,X）=D（X）（5）協(xié)方差的性質(zhì)① cov（X,Y）=cov（Y,X）； ② cov（aX,bY）=abcov（X,Y），其中a,b為任意常數(shù)；③④ 若X與Y相互獨(dú)立，則cov（X,Y）=（x,y）≠fX（x）另外，正態(tài)隨機(jī)變量的線性變換，這兩個(gè)結(jié)論十分有用，必須記住仍是正態(tài)隨機(jī)變量，即aX+b～第三章 多維隨機(jī)變量及概率分布設(shè)（，）為一個(gè)二維隨機(jī)變量，記為二維隨機(jī)變量（，）的聯(lián)合分布函數(shù)，或稱為（＝＝，則稱函數(shù)和，）的分布為二維隨機(jī)變量（，）的兩個(gè)分量 和 ：（1）（2）0，（3）是變量（或）的不減函數(shù)；1，對(duì)任意給定的，；.；對(duì)任意給定的，；關(guān)于和關(guān)于均右連續(xù)，即，有（4）對(duì)任意給定的二維離散型隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的所有可能取值為（各個(gè)可能取值的概率為（＝1，2，?）為（X，Y）的分布律，（），（＝1，2，?），（X，Y）的，＝1，2，?），稱（X，Y）分布律的性質(zhì)[1]，（＝1，2，?）；[2]二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度（1）設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)為F（x,y），若存在非負(fù)可積函數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有量；并稱，則稱（X，Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變?yōu)椋╔，Y）：；（2）概率密度① 非負(fù)；②③ 若在 處連續(xù)，則有； ④ 兩種二維連續(xù)型隨機(jī)變量分布（1）均勻分布①定義：設(shè)D為平面上的有界區(qū)域，其面積為S且S＞0，如果二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為則稱（X,Y）服從區(qū)域D上的均勻分布（或稱（X,Y）在D上服從均勻分布），記作（X,Y）～UD。（2）概率密度的性質(zhì)：① f（x）≥0；②③④ 設(shè)x為f（x）的連續(xù)點(diǎn)，則存在三種常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布Ⅰ.均勻分布，且；（1）定義：若隨機(jī)變量X的概率密度為上的均勻分布，記做X～U（a,b），則稱X服從區(qū)間[a,b]（2）分布函數(shù)為 Ⅱ.指數(shù)分布（1）定義：若隨機(jī)變量X的概率密度為稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，記做X～E（λ）.，其中λ0為常數(shù)，則（2）指數(shù)分布的分布函數(shù)為Ⅲ.正態(tài)分布，（1）定義：若隨機(jī)變量X的概率密度為22，－∞2μ,σ為常數(shù)，－∞0，則稱X服從參數(shù)為μ,σ的正態(tài)分布，記做X～N（μ,σ）（2）概率密度函數(shù)的性質(zhì)：①曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱，則對(duì)于任意h0，有P（μh②當(dāng)x==μ177。用分布函數(shù)表示事件的概率：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x）, 則（1）P{X≤b}=F（b）；（2）P{a（3）P{Xb}=1F（b）連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度（1）定義：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x），若存在非負(fù)函數(shù)f（x），使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱f（x）為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度（或密度函數(shù)）。離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為分布函數(shù)的性質(zhì)（1）0≤F（x）≤1。泊松定理的應(yīng)用：當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布可以用泊松逼近來近似計(jì)算。（4）用途：可用分布律求任意事件的概率三種常用的離散型隨機(jī)變量的分布（1）0－1分布（兩點(diǎn)分布）定義：若隨機(jī)變量X只取兩個(gè)可能值0，1，且P{X＝1}＝p，P{X＝0}＝q, 其中0（2）二項(xiàng)分布定義：若隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，?，n，而X的分布律為，k＝0，1，2，?，n其中0解釋：n＝1時(shí)，二項(xiàng)分布即為0－1分布，所以，二項(xiàng)分布是服從0－1分布的隨機(jī)試驗(yàn)進(jìn)行n次的情