【正文】 ） +P（ B） = 根據(jù)對偶公式 所以 167。 因為基本事件總數(shù) 事件 包含的基本事件 11 加法公式可推廣如下： 例 3， P（ A） =， P（ B） =， P（ C） =， P（ AB） =， P（ AC） =， P（ BC）=0，求 P（ A+B+C）。 解： A表示有次品，它包含有 1 件次品，有 2 件次品，有 3 件次品三類事件，計算比較復(fù)雜。 解：（ 1）先將第一封信投入信箱，有 4 種方法 再將第二封信投入信箱，也有 4 種方法 ∴ 根據(jù)乘法原則共有 44 種方法 ∴ 基本事件總數(shù) n=44 （ 2）將兩封信同時投入一個信箱，方法有 4 種 ∴ A包含的基本事件數(shù) r=4 例 12，袋中有 10 個球，其中有 6 個白球， 4 個紅球，從中任取 3個，求： （ 1）所取的三個球都是白球的事件 A的概率 （ 2）所取三個球中恰有 2 個白球一個紅球的事件 B的概 （ 3）所取 3 個球中最多有一個白球的事件 C 的概率 （ 4）所取 3 個球顏色相同的事件 D 的概率 解：基本事件總數(shù) （ 1） A包含的基本事件數(shù) （ 2） B包含的基本事件數(shù) （ 3） C 的基本事件包含兩類： 第一類，一個白球，二個紅球的取法有 第二類， 0 個白球，三個紅球取法有 種 ∴ 事件 C包含的基本事件數(shù) （ 4）事件 D 包含的基本事件有兩類： 第一類，三個球都是白球的取法有種 10 第二類，三個球都是紅球的取法有 ∴ 事件 D 包含的基本事件數(shù)種 （種） （四）概率的加法公式 請先看下面引例： 擲一次骰子， A=｛ 1， 3， 5｝， B=｛ 1， 2， 3｝請求： （ 1） P（ A）； （ 2） P（ B） （ 3） P（ A+B）； （ 4） P（ AB） 解：（ 1） 下面公式： 特別情形： （ 2）（ 3） （ 4） 由本例看出， P（ A+B） =P（ A） +P（ B） P（ AB），本例的結(jié)果具有普遍性，下面我們不加證明地介紹 （ 1）如果 A與 B互斥，即 AB=Φ則 P（ AB） =0 這時 （ 2）因為 A與有性質(zhì)所以 的概率則較易計算時，便可以 當(dāng)上面等式中左邊的概率 P（ A）不易求得，而且 A的對立事件 通過容易計算的求難計算的概率 P（ A）。 第二步，將其余 6 個數(shù)中任取兩個放在十位碼和百位碼，方法有 根據(jù)乘法原則，事件 B包含的基本事件數(shù) 種。 解：基本事件總數(shù)（個） （ 1）所排成的三位數(shù)是偶數(shù)的取法需分兩步： 第一步，取一個偶數(shù)放在個位碼位置，取法有 3 種； 第二步，將其余 6 個數(shù)中任取兩個排成一排，分別處于十位數(shù)和百位數(shù)碼位置，共有 方法。 解：（ 1）基本事件總數(shù) n=66=36（種） （ 2） A=｛ ①⑥ ； ②⑤ ； ③④ ； ④③ ； ⑤② ； ⑥① ｝ ∴ A包含的基本事件數(shù) r=6 例 9，從 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 這七個數(shù)碼中任取 3 個，排成三位數(shù)，求（ 1）所排成的三位數(shù)是偶數(shù)的事件 A的概率。由于有放回，所以第一次、第二次取一件產(chǎn)品的方法都是 10 種，由乘法原則知抽取方法共有 1010=100 種，所以基本事件總數(shù) n=1010=100 第一次取正品方法有 7 種，第二次取次品的方法有 3 種，由乘法原 則，事件 B包含的基本事件共有 例 7，將一套有 1,2,3,4,5 分冊的 5 本書隨機(jī)放在書架的一排上，求 1， 2 分冊放在一起的事件 A的概率。 ∴ 例 6，袋中有 10 件產(chǎn)品，其中有 7 件正品， 3 件次品，從中每次取一件，共取兩次，√√√√√√√ 求 :（ 1）不放回抽樣，第一次取后不放回，第二次再取一件，而且第一次取到正品，第二次取到次品的事件 A的概率。 （ 2）從 5 個白球中任取 2 個，結(jié)果與順序無關(guān) ∴ 取法共有（種） ∴ B包含的基本事件共有 r2=10 7 （種） （ 3）從 3 個紅球中任取 2 個的方法為 ∴ C包含的基本事件數(shù) r3=3 ∴ （ 4）所取 2 個球顏色相同的有兩類： 第一類： 2 個球都是白球的方法有 第二類： 2 個球都是紅球 的方法有（種） （種） 根據(jù)加法原則，所取 2 個球是顏色相同的方法共有 10+3=13 種。 解：袋中共的 8 個球，從中任取 2 個球結(jié)果與順序無關(guān)，所以取法共有 個基本事件，所以基本事件總數(shù)為 種，每一種取法的結(jié)果是一 （ 1）分兩 步取。 解：從 10 個不同數(shù)碼中，任取 3 個的結(jié)果與順序無關(guān)，所以基本事件總數(shù) A事件中不能有 0 和 5，所以只能從其余 8 個數(shù)碼中任取 3 個，所以 A中的基 本事件 例 4，從 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9這 9 個數(shù)字中任取一個，放回后再取一個，求所取兩個數(shù)字不同的事件 A的概率。 解：樣本空間為 Ω=｛ 1， 2， 3， 4， 5， 6｝； A=｛ 1， 3， 5｝ ∴ n=6,r= 求： 例 ，設(shè) A表示恰有一次出現(xiàn)正面， B表示三次都出現(xiàn)正面， C表示至少出現(xiàn)一次正面， （ 1） P（ A）； （ 2） P（ B） （ 3） P（ C） 解：樣本空間 Ω=｛正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反｝； （ 1） （ 2） （ 3） 由于在古典概型中，事件 A的概率 P（ A）的計算公式只需知道樣本空 間中的樣本點(diǎn)的總數(shù) n 和事件 A 包含的樣本點(diǎn)的個數(shù) r 就足夠，而不必一一列舉樣本空間的樣本點(diǎn)，因此，當(dāng)樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)比較 6 多或難于一一列舉的時候，也可以用分析的方法求出 n 與 r 的數(shù)值即可。 例如，擲一次骰子，它的可能結(jié)果只有 6 個，假設(shè)骰子是均勻的，則每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是 1/6，所以相等，這種試驗是古典概型。 粗略地說，我們可以認(rèn)為事件 A發(fā)生的概率 P（ A）就是事件 A發(fā)生的可能性的大小，這種說法不準(zhǔn)確，但人們?nèi)菀桌斫夂徒邮?，便于?yīng)用。例如從上表可見拋硬幣試驗，正面出現(xiàn)的事件 A 的頻率 fn（ A）的穩(wěn)定值大約是 。 隨機(jī)事件的概率 （一）頻率：（ 1）在相同條件下，進(jìn)行了 n 次 試驗，在這 n 次試驗中，事件 A發(fā)生了 nA次，則事件 A發(fā)生的次數(shù) nA叫事件 A發(fā)生的頻數(shù)。 因而它們不相同。 它表示 A， B， C三事件中至少發(fā)生二個的事件。 ∴ AB 表示至少 A與 B都發(fā)生的事件 （ 4） 所以也可以記 AB 表示， ABC 與 中至少有一個發(fā)生的事件。 解：（ 1） A+B=｛ 1， 2，3， 5｝； （ 2） A