【正文】 差檢驗 2 合計 4/100 10/100 8/100 一、假設檢驗問題 假設檢驗的理論根據(jù)是 “ 小概率 ” 原理，即小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生，所以，在一次試驗中發(fā)生的事件（抽出的一個樣本）可以認為是 “ 大概率 ” 事件，對所檢驗的總體的概率分布具有代表性，因此，可以在一定的顯著水平使用一次抽樣得到的樣本對總體進行檢驗，得出確定的結論，對作出的假設進行取舍。 解：由條件知，本題為單正態(tài)總體 X～ N（ μ,σ 2）方差 σ 2未知，求均值 μ 置信度為 95％的置信區(qū)間。 例 ，每瓶維生素 C的含量為隨機變量 X（單位： mg），設 X～ N（ μ,σ 2），其中 μ,σ 2均未知。 例 X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，其概率密度為 由來自總體 X的一個樣本 [答疑編號 918020203] 答案： 解析：本題考察指數(shù)分布的概念：設總體 X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，則其數(shù)學期望 例 為來自總體 X 的樣本，則當 α ＝ ______時， [答疑編號 918020204] 答案： 1/4 例 來自正態(tài)總體 容量為 100的簡單隨機樣本，得樣本均值為 10，則未知參數(shù) μ 的置信度為 ______. [答疑編號 918020205] 答案： [， ] 解析：本題考核區(qū)間估計內(nèi)容。 若指數(shù)分布的概率密度為 本題總體 X密度函數(shù)為 是樣本，由矩法估計有 例 為來自總體 的樣本， 無偏估計是（ ） [答疑編號 918020202] 答案： A 解析：本題考察的是課本 p153例 7－ 14的一個說明，即 是總體方差的無偏估計。 （ p162，表 7－ 1）略。 （ 2）極大似然估計法 ：把一次試驗所出現(xiàn)的結果視為所有可能結果中概率最大的結果，用它來求出參數(shù)的最大值作為估計 值。 （ 1）矩法（數(shù)字特征法）： ： ① 用樣本矩作為總體矩的估計值； ② 用樣本矩的函數(shù)作為總體矩的函數(shù)的估計值。記憶內(nèi)容。 根據(jù)課本 P82，例題 3－ 28 的結果，若 X～ N（ 0， 1）， Y～ N（ 0,1） ,且 X與 Y相互獨立，則 X＋ Y～ N（ 0＋ 0， 1＋ 1）＝ N（ 0， 2）。 （ 1）聯(lián)合分布函數(shù)：設總體 X的分布函數(shù)為 F（ x）， x1,x2?,x n為該總體的一個樣本，則聯(lián)合分布函數(shù)為 二、統(tǒng)計量及其分布 、抽樣分布 ：設 x1,x2?,x n為取自某總體的樣本，若樣本函數(shù) T=T（ x1,x2?,x n）不含任何未知參數(shù)，則稱 T為統(tǒng)計量；統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。 如果總體 X的樣本 x1,x2?,x n滿足：（ 1） x1與 X有相同分布， i＝ 1， 2， ? ， n；（ 2） x1,x2?,x n相互獨立，則稱該樣本為簡單隨機樣本，簡稱樣本。 第二部分 數(shù)理統(tǒng)計部分 專題一 統(tǒng)計量及抽樣的分布 近幾年試題的考點分布和分數(shù)分布 最高分數(shù)分布 最低分數(shù)分布 平均分數(shù)分布 樣本的分布 2 1 樣本矩 2 1 合計 4/100 0/100 2/100 一、總體與樣本 ：所考察對象的全體稱為總體；組成總體的每個基本元素稱為個體。簡單總結如下： 內(nèi)容：一個不等式，兩個大數(shù)定律，兩個中心極限定理，其中，貝努利大數(shù)定律從理論上解決大量重復隨機試驗中頻率穩(wěn)定于概率的問題，獨立同分布的切比雪夫大數(shù)定律從理論上解決了平均結果穩(wěn)定于均值的問題；而兩個中心極限定理從理論上解決了大量重復隨機試驗近似服從正態(tài)分布的統(tǒng)計規(guī)律。 答案： 例 3. 設 是 n次獨立重復試驗中事件 A出現(xiàn)的次數(shù)， P是事件 A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的 ，均有 （ ） A.=0 B.=1 C.0 答案： A 解析：本題考核貝努利大數(shù)定律。 二、大數(shù)定律 （ 1）貝努利大數(shù)定律：設 m是 n獨立重復試驗中事件 A發(fā)生的次數(shù) ，則對任意給定的 ，總有 （ 2）切比雪夫大數(shù)定律：隨機變量序列 相互獨立且具有有限的期望 和方差 ，則對任意給定的 ，總有 三、中心極限定理 （ 1）獨立同分布序列中心極限定理：隨機變量 ,相互獨立，服從相同的分布且具有期望 和方差 ，則對隨機變量 的分布函數(shù) 及任意 x，總有 （ 2）兩個結論 ① 定理說明，當 n充分大時，不論獨立同分布隨機變量服從什么分布，其和近似服從正態(tài)分布； ② 定理說明：當 n充分大時，不論獨 立同分布隨機變量服從什么分布，其平均值 。 例 ，且 X與 Y相互獨立，則 ＝ ____________。 因此， ，因為 ，所以 。 解析：本題考察協(xié)方差及相關系數(shù)的概念及性質。 解析：本題考核二維隨機變量的均勻分布概念及協(xié)方差的計算（選自課本 P106，例 4－ 29）。 設隨機變量（ X， Y）的概率密度函數(shù)為 ，則在 的連續(xù)點 處有 （利用二元函數(shù)極限可以驗證， 在（ 0， 0）點不連續(xù)）； ， 當 時， ，所以 當 時， 。 例 （ X， Y）的分布函數(shù)為 ，則 X的邊緣分布函數(shù)=______. 答案： 。 （ 3） 由（ 2），可得 ， 上式即為 X與 Y相互獨立的充要條件，所以，本題的二維隨機變量（ X， Y）的兩個分量 X與 Y 相互獨立。 解：（ 1）由二維連續(xù)型隨機變量（ X， Y）概率密度的性質 ， 則 ，所以 。 例 3. 設二維隨機變量（ X， Y）的概率密度為 （ 1）求常數(shù) c。 （ 2）由（ X， Y）的聯(lián)合分布律知， XY的可能取值為 0， 1， 2，則 所以 。 III. 典型例題 例 的分布律為 則 A. B. C. 答案： B 例 （ X， Y）的分布律 為 且已知 E（ Y） =1，試求： （ 1）常數(shù) ； （ 2） E（ XY）； （ 3） E（ X） 解析：本題考察二維離散型隨機變量（ X， Y）分布律的性質、分量及函數(shù)的數(shù)學期望。 C）協(xié)方差的性質： ① ； ② ，其中 a， b為任意常數(shù)； ③ ； ④ 若 X與 Y相互獨立， ，協(xié)方差為零只是隨機變量相互獨立的必要條件，而不是充分必要條件； ⑤ ； ⑥ ⑦ 補充性質：課本 p111，例 4－ 36. 一般情況下， （ 4）相關系數(shù) A）定義：稱 為隨機變量 X與 Y的相關系數(shù)。記做 。 （ 2）期望與方差的性質 ① ； ② ③ 若 X， Y相互獨立，則 。 （ 4）兩個相互獨立隨機變量各自函數(shù)的相互獨立性： 設 X， Y相互獨立，那么它們的各自函數(shù) 與 也相互獨立。 求解公式： 同理可得另一個解析式 ， 這就是二維連續(xù)型隨機變量獨立分量和的卷積公式 . （ 3）兩個相互獨立的隨機變量的可加性 ① 泊松分布具有可加性：設 X， Y相互獨立，且 ，則 。 解法： 。 解題步驟： ① 求出 Z的可能取值 ， ② 分別求概率 ， ③ 列表得出 Z的分布律。 （ 4）求分量 X， Y的數(shù)學期望： （ 1）定義：設 及 ， 分別為二維隨機變量（ X， Y）的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)，若對任意 x， y有 ，則稱隨機變量 X和 Y相互獨立。 （ 2） 有如下性質 i） ； ii） ； iii）設 D為 平面上的一個區(qū)域，則（ X， Y）落入 D內(nèi)的概率為 ； iv）在 的連續(xù)點（ x， y），有 。 （ 4）邊緣分布 稱 （ i＝ 1， 2， ? ）為關于 X的邊緣分布； 稱 （ j＝ 1， 2， ? ）為關于 Y的邊緣分布。 的性質 （ 1） 是變量 x（或 y）的單調(diào)非減函數(shù)； （ 2） ，對于固定的 y， ，對于固定的 x， ； （ 3） 關于 x和關于 y均右連續(xù)； （ 4）對任意 （ 1）定義：若二維隨機變量（ X， Y）只取有限對或可列無窮多對 ， 則稱（ X， Y）為離散型隨機變量。 根據(jù)聯(lián)合分布函數(shù)可求出（ X, Y）落入?yún)^(qū)域 的概率為。 專題三 二維隨機變量 近幾年試題的考點分布和分數(shù)分布 最低分數(shù)分布 最高分數(shù)分布 平均分數(shù)分布 分布律 4 ②, 4 2 分布函數(shù) 4 2 密度函數(shù) ② 2 2 邊緣分布 4 10 數(shù)字特征 ② ， ② ， 2 ② ， 12 4 二維隨機變量 函數(shù) ② ， 4 ② ， 2， 2 4 2 合計 18/100 40/100 22/100 II. 內(nèi)容總結 一、二維隨機變量 由兩個隨機變量 X,Y組成的有序組（ X, Y）稱為二維隨機變量或二維隨機向量。 解析：本題是一維連續(xù)型隨機變量的指數(shù)分布求概率與離散型隨機變量二項分布求分布律和概率的綜合題。 解：因為市場上對冰淇淋的需求量的盒數(shù) ，所以概率密度為 設小店組織 y盒冰淇淋時，平均收益最大，收益函數(shù)為 ，則 且平均收益為 觀察此關于 y的二次函數(shù)，二次項系數(shù)為－ 2＜ 0，所以，當 時，函數(shù) 取得最大值， 因此，小店組織 y＝ 250盒冰淇淋時，平均收益最大。 例 12. 假定暑期市場上對冰 淇淋的需求量是隨機變量 X盒，它服從區(qū)間 [200， 400]上的均勻分布，設每售出一盒冰淇淋可為小店掙得 1元，但假如銷售不出而屯積于冰箱，則每盒賠 3元。設 Y的分布函數(shù)為 ，則當 時 其中 為 X的分布函數(shù)。 （ 3）解法一：由已知， Y=2X， 根據(jù) p52定理，對于函數(shù) ，而 ，則當 時， 所以， 。 （ 2）解法一：利用概率密度求概率。 解析：本題考察一維連續(xù)型隨機變量的概率密度、分布函數(shù)的概念和性質，以及隨機變量函數(shù)的概率密度。 （ 3）由（ 2） 化簡為 ，所以 另解：也可用分布函數(shù)來計算這個 概率。 解：（ 1）因為在 的連續(xù)點有 ，所以 （ 2）由（ 1）可知 X～ U（ 0， 8），所以 。 （ 2）首先求 ，又 ， 再求 ， 。 解析：本題考察一維離散型隨機變量分布律的性質、數(shù)學期望及隨機變量函數(shù)的方差的計算方法。 例 8. 若 ，且 , 則 ＝（ ） 答案： A 解析：本題考察正態(tài)分布求概率的方法。 若隨機變量 X服從參數(shù)為 λ 的泊松分布，則 。 例 ，且 ，則 n＝ ___________. 答案： 5 解析：本題考察二項分布的概率。 ，因為 是單調(diào)非減函數(shù)，所以 。 根據(jù)已知條件函數(shù) 在 上等于 sinx及 sinx在四個象限的正、負取值，淘汰 A, D選項；再根據(jù)，驗算選項 C， ，淘汰 C；或根據(jù)此性質驗算選項 B，直接得到答案。 本題 ， ，故填 。 解法二： 例 X的概率密度為 ，則 c=___________。 解法：設 Y的分布函數(shù)為 的反函數(shù)為 ，則 例 X的概率分布為 為其分布函數(shù)，則 = ______. 答案： 解析：本題考核概率分布的性質及分布函數(shù)的概念。設 是嚴格單 調(diào)的可導函數(shù)，其值域為 ，則 的概率密度為 。 （ 2）離散型隨機變量函數(shù)的分布 設 X為離散型隨機變量，其分布律為 X ? ? 概率 ? ? 則 的分布律為 Y ? ? 概率 ? ? 注：對 相同者，須合并并把概率相加。 （ 3）方差的計算公式： （ 1）隨機變量的函數(shù)：設 X為隨機變量， 為連續(xù)函數(shù)，則 為隨機變量 X的函數(shù)。 （ 1）數(shù)學期望的性質