【正文】 【答疑編號： 10010601針對該題提問】 （解一）用 B表示三粒種子中至少有一粒發(fā)芽 A1表示第一粒種子發(fā)芽 A2表示第二粒種子發(fā)芽 A3表示第三粒種子發(fā)芽 很明顯， A1， A2， A3相互獨(dú)立 （解二）用對偶公式 例 、乙、丙三人獨(dú)立破譯敵碼。 （ 2） A與 B獨(dú)立的性質(zhì) 性質(zhì)一，若 A與 B獨(dú)立，則 而若 A與 B獨(dú)立，則 證： ∵A 與 B獨(dú)立， ∴P （ AB） =P（ A） P（ B） （ 1）當(dāng) P（ A） 0時， （ 2）當(dāng) P（ B） 0時， 性質(zhì)一說明 A與 B相互獨(dú)立時， A發(fā)生與否，對 B發(fā)生的概率沒有影響，而且， B發(fā)生與否也對 A發(fā)生的概率沒有影響。 例 8，已知 ， 求（ 1） P（ AB）； 【答疑編號： 10010507針對該題提問】 （ 2） 【答疑編號： 10010508針對該題提問】 解：（ 1） （ 2） 例 9，若 ； 求（ 1） P（ B）； 【答疑編號： 10010509針對該題提問】 （ 2） P（ A+B） 【答疑編號： 10010510針對該題提問】 解：（ 1） （ 2） （ 3） 例 10，已知 ；求 【答疑編號： 10010511針對該題提問】 解：（ 1） （ 2） （ 3） 167。 例 7，甲袋中有 3個白球， 2個紅球，乙袋中有 2個白球， 3個紅球，先從甲袋中取一個球放入乙袋，再從乙袋中取一個球，求： （ 1）從乙袋中取出的球是白球的概率； 【答疑編號： 10010505針對該題提問】 （ 2）如果從乙袋中取出的球 是白球，則這時從甲袋中取出白球的概率是多少？從甲袋中取出紅球的概率是多少？ 【答疑編號： 10010506針對該題提問】 解：用 B表示從乙袋中取出白球； A表示從甲袋中取出白球，所以 表示從甲袋中取出紅球。 表示已知該產(chǎn)品是丙廠產(chǎn)品時，該產(chǎn)品是次品。 【答疑編號： 10010504針對該題提問】 解：用 B表示產(chǎn)品是次品， A1表示甲廠的產(chǎn)品， A2表示乙廠的產(chǎn)品， A3表示丙廠的產(chǎn)品。 【答疑編號： 10010417針對該題提問】 解：用 AK表示敵機(jī)的被擊中 K彈， K=0,1,2； B表示敵機(jī)被擊落 已知 顯然有 其中 A0,A1,A2是 Ω 的一個劃分 （三）逆概公式（貝葉斯公式） 由 可得 公式 叫逆概公式（ 貝葉斯公式） 當(dāng) P（ A） ,P（ B）， 已知時，可反過來求 。 【答疑編號： 10010416針對該題提問】 解：用 B表示該產(chǎn)品是次品， A表示該產(chǎn)品由甲車床生產(chǎn) 已知 例 4，二門導(dǎo)彈射擊敵機(jī)，敵機(jī)未被擊中的概率為 ，被擊中一彈的概率為 ,被擊中二彈的概率為 ，若敵機(jī)中一彈時被擊落的 概率為 ，敵機(jī)中二彈時，被擊落的概率為 。 例 2，已知男人中有 5%是色盲，女人中有 1%是色盲，若人群中男女各半。 例如某產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠分別生產(chǎn)， A1表示該產(chǎn)品由甲廠生產(chǎn)， A2表示該產(chǎn)品由乙廠生產(chǎn)， A3表示該產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)，則事件組 A1， A2， A3滿足： （ 1） （ 2） 所以事件組 A1， A2， A3是樣本空間的一個劃分。 【答疑編號： 10010411針對該題提問】 解：用 A1表示第一次取到正品 A2表示第二次取到正品 A3表示第三次取到正品 則 用古典概型計算 P（ A1），這時 n1=5， r1=3 再用古典概型計算 ，這時 n2=4， r2=2 再用古典概型計算 ，這時 n3=3， r3=2 （二）全概公式 定義：若事件組 滿足條件 （ 1） 互不相容 （ 2）在一次試驗(yàn)中，事件組 中至少發(fā)生一個，即 就說事件組 是樣本空間 Ω的一個劃分。 【答疑編號： 10010409針對該題提問】 解：（ 1） ∴ （ 2） 例 5，某人壽命為 70歲的概率為 ，壽命為 80歲的概率為 ，若該人現(xiàn)已 70歲時，問他能活到 80歲的概率是多少？ 【答疑編號： 10010410針對該題提 問】 解：用 A表示某人壽命為 70歲， B表示某人壽命為 80 歲。下面我們不加證明地給出下面的乘法公式： 顯然有：若 P（ A） 0則有 將上面的結(jié)果改寫為整式有 ∴ 公式 叫概率的乘法公式。在已知所選職工是男職工的條件下，該職工是優(yōu)秀職工，這時 n=100,r=10 由本例可以看出 事件 A與事件 不是同一事件 ,所以它們的概率不同 ,即 由本例還可看出 , 事件 AB與事件 也不相同， 事件 AB 表示所選職工既是男職工又是優(yōu)秀職 工，這時基本事件總數(shù) n1=200， r=10。 用 A表示所選職工優(yōu)秀， B表示所選職工是男職工。 條件概率 （一）條件概率和乘法公式 符號 叫在事件 B 已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件 A發(fā)生的概率，叫條件概率 ，需要指出 的是 條件概率 仍是事件 A的概率，但是它有條件，條件是以 B 已經(jīng)發(fā)生為前提，或者 是以 B 已經(jīng)發(fā)生為條件。 【答疑編號： 10010317針對該題提問】 解： （五）概率的減法公式 因?yàn)?，而 ，而 BA與 明顯不相容。 而對立事件 則表示沒有次品 ，即都是正品的事件，比較簡單。 例 1若 P（ A） =， P（ A+B） =， P（ AB） =，求 P（ B） 【答疑編號： 10010315針對該題提問】 解：因?yàn)?P（ A+B） =P（ A） +P（ B） P（ AB） ∴P （ B） =P（ A+B） +P（ AB） P（ A） =+= 例 2，袋中有 10件產(chǎn)品，其中有 6件正品， 4件次品，從只任取 3件，求所取 3件中有次品的事件 A的概率。 根據(jù)乘法原則，事件 B包含的基本事件數(shù) 例 10，袋中有 9個球，分別標(biāo)有號碼 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9從中任取 3個球，求 （ 1）所取 3個球的最小號碼為 4的事件 A的概率； 【答疑編號： 10010304針對該題提問】 （ 2）所取 3個球的最大號碼為 4的事件 B的概率； 【答疑編號： 10010305針對該題提問】 解：基本事件總數(shù) （個） （ 1）最小號碼為 4的取法分兩步進(jìn)行 第一步，取出 4號球，方法只有 1種 第 二步，在 5， 6， 7， 8， 9這 5個球中任取 2個，方法數(shù)為 ∴A 包含的基本事件 （ 2）最大碼為 4的取法為： 第一步，取出 4號球方法只有 1種 第二步，在 1， 2， 3號球中任取 2個，方法數(shù)為 ∴B 包含的基本事件 例 11，將兩封信投入 4個信箱中，求兩封信在同一信箱的事件 A的概率。 根據(jù)乘法原則，事件 A包含的基本事件數(shù) （ 2）所排成的三位數(shù)的取法也需分兩步進(jìn)行； 第一步，取一個奇數(shù)放在個位碼位置，有 4種方法。（ 2）所排成的三位數(shù)是奇數(shù)的事件 B的概率。 【答疑編號： 10010301針對該題提問】 解：（ 1）基本事件總數(shù) n=54321 （種） 或者為 （ 2） A包含的基本事件有 （種） 例 8，擲兩次骰子，求點(diǎn)數(shù)和為 7的事件 A的概率。 【答疑編號： 10010211針對該題提問】 （ 2）放回抽樣，第一次取一件產(chǎn)品，放回后第二次再取一件，求第一次取到正品，第二次取到次品的事件 B的概率 【答疑編號： 10010212針對該題提問】 解（ 1）第一次取一件產(chǎn)品的方法有 10 種 ∵ 不放回， ∴ 第二次取一件產(chǎn)品的方法有 9種 由乘法原則知，取兩次的方法共有 109 種 也可以用排列數(shù)計算，因?yàn)榻Y(jié)果與順序有關(guān)，所以取法有 （種） ∴ 基本事件總數(shù) n=109 第一次取到正品，第二次取到次品的方法有 73 種，所以事件 A包含的基本事件有： （ 2）放回抽樣。 ∴2 個球顏色相同的事件 D包含 r4=13種基本事件。第一步，在 5 個白球中任取一個，方法數(shù)為 5；第二步在 3 個紅球中取一個，方法數(shù)為 3，根據(jù)乘法原則，共有 53 種方法，即有 53 種結(jié)果。 【答疑編號： 10010206 針對該題提問】 解：（ 1）第一次取一個數(shù)字的方法有 9 種； 第二次取一個數(shù)字的方法與第一次相同也是 9 種； 由乘法原則，知兩次所 取的數(shù)字方法有 99=92（種） 每一種取法是一個基本事件，所以 n=92 （ 2）所取兩個數(shù)字不同時，相當(dāng)于從中任取兩個數(shù)，其結(jié)果與順序有關(guān)，所取取法有： 也可按（ 1）的乘法原則求 r，第一次的取法有 9 種，第二次的數(shù)字與第 1 次不同，所以只有 8 種，所以 取法共有 98（種） ∴ r=98 例 5，袋中有 5 個白球， 3 個紅球，從中任取 2 個球， 求（ 1）所取 2 個球的顏色不同的事件 A的概率； 【答疑編號： 10010207 針對該題提問】 （ 2）所取 2 個球都是白球的事件 B 的概率； 【答疑編號： 10010208 針對該題提問】 （ 3）所取 2 個球都是紅球的事 件 C 的概率； 【答疑編號： 10010209 針對該題提問】 （ 4）所取 2 個球是顏色相同的事件的概率。 例 3，從 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 這 10個數(shù)碼中，取出三個不同的數(shù)碼，求所取 3 個數(shù)碼不含 0 和 5 的事件 A的概率。 下面介紹古典概型事件的概率的計算公式： 設(shè) 是古典概型的樣本空間，其中樣本點(diǎn)總數(shù)為 n， A為隨機(jī)事件，其中所含的樣本點(diǎn)數(shù)為 r 則有公式： 例 1，擲一次骰子， 求點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)點(diǎn)的事件 A的概率。 下面我們不加證明地介紹事件 A的概率 P（ A）有下列性質(zhì)： （ 1） 0≤P（ A） ≤1 （ 2） P（ Ω） =1， P（ Φ） =0 （ 3）若 A與 B 互斥，即 AB=Φ，則有 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） 若 A1， A2， …… ， An互斥，則有 （三）古典概型： 若我們所進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)有下面兩個特點(diǎn)： （ 1）試驗(yàn)只有有限個不同的結(jié)果； （ 2）每一個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等， 則這種試驗(yàn)?zāi)Ｐ徒泄诺涓判汀? （二）概率： 事件 A出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值叫事件 A發(fā)生的概率，記作 P（ A） 實(shí)際上，用上述定義去求事件 A發(fā)生的概率是很困難的，因?yàn)榍?A發(fā)生的頻率 fn（ A）的穩(wěn)定值要做大量試驗(yàn)，它的優(yōu)點(diǎn)是經(jīng)過多次的試驗(yàn)后，給人們提供猜想事件 A 發(fā)生的概率的近似值。 （ 2）比值 nA/n 稱為事件 A發(fā)生的頻率，記作 fn（ A），即 歷史上有不少人做過拋硬幣試驗(yàn)，其結(jié)果見下表，用 A表示出現(xiàn)正面的事件： 試驗(yàn)人 n nA fn（ A） 摩根 2048 1061 蒲豐 4040 2048 皮爾遜 12020 6019 從 上表可見，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n大量增加時，事件 A發(fā)生的頻率 fn（ A）會穩(wěn)定某一常數(shù)，我們稱這一常數(shù)為頻率的穩(wěn)定值。 167。 （ 2） 表示 A， B， C三事件中，僅僅事件 A與事件 B發(fā)生的事件 表示 A， B， C 三事件中僅有二個事件發(fā)生的事件。 例 ， B， C 為三事件，說明（ AB+BC+AC）與 是否相同。 （ 1） ABC； 【答疑編號： 10010125 針對該題提問】 （ 2） ； 【答疑編號： 10010126 針對該題提問】 （ 3） AB； 【答疑編號： 10010127 針對該題提問】 （ 4） 【答疑編號： 10010128 針對該題提問】 解：（ 1） ABC 表示事件 A， B， C 都發(fā)生的事件 （ 2） 表示 A， B 都發(fā)生且 C 不發(fā)生的事件 （ 3） AB 表示事件 A與 B 都發(fā)生的事件，對