【導讀】本課程的理論基礎，數(shù)理統(tǒng)計則從應用角度研究如何處理隨機數(shù)據(jù)，建立有效的統(tǒng)計方法，隨機變量的數(shù)字特征及大數(shù)定律和中心極限定理。共五章，重點第一、二章，數(shù)理統(tǒng)計包括。樣本與統(tǒng)計量，參數(shù)估計和假設檢驗、回歸分析。重點是參數(shù)估計。機有早、晚二班飛機，分別記作飛1、飛2。解：從北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飛1、飛2共5種。第一類辦法中有n1種方法；引例二，從北京經(jīng)天津到上海，需分兩步到達。由第一步由北京到天津的3種方法與第二步由天津到上海的2種方法相乘3×2=6生成。第二步驟的方法有n2種；則出現(xiàn)偶數(shù)點的事件A，點數(shù)≤4的事件B都是可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件。慣用ω表示基本事件。所以A發(fā)生則必然導致B發(fā)生。表示A與B實際上是同一事件。例如在考試中A表示考試成績?yōu)閮?yōu)，B表示考試不及格。

　　

【正文】 (3) P(X≥3)= P(X=3)+P(X=4) =+= (4)∵ {x4}=Φ ∴ P{x4}=0 （三） 01 分布與二項分布 下面，介紹三種重要的常用離散型隨機變量，它們是 01 分布、二項分布與泊松分布。 定義 4 若隨機變量 X 只取兩個可能值： 0,1,且 P{X=1}=p, P{X=0}=q 其中 0p1,q=1p,則稱 X 服從 01 分布。 X 的分布律為 在 n 重貝努利試驗中，每次試驗只觀察 A 是否發(fā)生，定義隨機變量 X 如下： 因為 ，所以 X 服從 01 分布。 01 分布是最簡單的分布類，任何只有兩種結果的隨機現(xiàn)象，比如新生兒是男是女，明天是否下雨，抽查一產(chǎn)品是正品還是次品等，都可用它來描述。 例 6 一批產(chǎn)品有 1000 件，其中有 50 件次品，從中任取 1 件，用 {X=0}表示取到次品，{X=1}表示取到正品，請寫出 X 的分布律 。 【答疑編號： 10020209 針對該題提問】 解 定義 5 若隨機變量 X 的可能取值為 0,1,…,n ，而 X 的分布律為 。 其中 ，則稱 X服從參數(shù)為 n,p的二項分布，簡記為 X～ B（ n,p）。 顯然，當 n=1 時， X 服從 01 分布，即 01 分布實際上是二項分布的特例。 在 n 重貝努利試驗中，令 X 為 A發(fā)生的次數(shù)，則 。 即 X 服從參數(shù)為 n,p 的二項分布。 二項分布是一種常用分布，如一批產(chǎn)品的不合格率為 p，檢查 n 件產(chǎn)品， n 件產(chǎn)品中不合格品數(shù) X 服從二項分布；調(diào)查 n 個人， n 個人中的色盲人數(shù) Y服從參數(shù)為 n,p的二項分布，其中 p 為色盲率； n 部機器獨立運轉(zhuǎn)，每臺機器出故障的概率為 p，則 n 部機器中出故障的機器數(shù) Z 服 從二項分布，在射擊問題中，射擊 n 次，每次命中率為 p，則命中槍數(shù) X 服從二項分布。 例 7 某特效藥的臨床有效率為 ，今有 10 人服用，問至少有 8 人治愈的概率是多少？ 【答疑編號： 10020200 針對該題提問】 解 設 X 為 10 人中被治愈的人數(shù)，則 X～ B(10， 095)，而所求 概率為 例 8 設 X～ B（ 2,p）， Y～ B（ 3,p）。設 ，試求 P{Y≥1}. 【答疑編號： 10020201 針對該題提問】 解 ，知 ，即 由此得 . 再由 可得 例 9 考卷中有 10 道單項選擇題，每道題中有 4個答案，求某人猜中 6 題以上的概率。 【答疑編號： 10020202 針對該題提問】 解： 已知猜中率 ，用 X 表示猜中的題數(shù) 則 在計算涉及二項分布有關事件的概率時，有時計算會很繁，例如 n=1000,p= 時要計算 就很困難，這就要求尋求近似計算的方法。下面我們給出一個 n很大、 p 很小時的近似計算公式，這就是著名的二項分布的泊松逼近。有如下定理。 泊松（ Poisson）定理 設 λ0 是常數(shù)， n 是任意正整數(shù)，且 ，則對于任意取定的非負整數(shù) k，有 證明略。 由泊松定理，當 n 很大， p 很小時，有近似公式 ， 其中 λ=np. 在實際計算中，當 n≥20,p≤。 例 10 一個工廠中生產(chǎn)的產(chǎn)品中廢品率為 ，任取 1000 件，計算： （ 1）其中至少有兩件是廢品的概率； 【答疑編號： 10020203 針對該題提問】 （ 2）其中不超過 5 件廢品的概率。 【答疑編號： 10020204 針對該題提問】 解 設 X 表示任取得 1000 件產(chǎn)品中的 廢品中的廢品數(shù)，則 X～ B(1000,)。利用近似公式近似計算， λ=1000=5. （ 1） （ 2） （四）泊松分布 定義 6 設隨機變量 X 的可能取值為 0,1,…,n,… ，而 X 的分布律為 其中 λ0，則稱 X 服從參數(shù)為 λ的泊松分布，簡記為 X～ p(λ) 即若 X～ p(λ)，則有 例 11 設 X 服從泊松分布，且已知 P{X=1}= P{X=2}，求 P{X=4}. 【答疑編號： 10020205 針對該題提問】 解 設 X 服從參數(shù)為 λ的泊松分布，則 由已知，得 解得 λ=2，則 167。 隨機變量的分布函數(shù) （一）分布函數(shù)的概念 對于離散型隨機變量 X，它的分布律能夠完全刻畫其統(tǒng)計特性 ，也可用分布律得到我們關心的事件，如 等事件的概率。而對于非離散型的隨機變理，就無法用分布率來描述它了。首先，我們不能將其可能的取值一一地列舉出來，如連續(xù)型隨機變量的取值可充滿數(shù)軸上的一個區(qū)間 (a,b)，甚至是幾個區(qū)間，也可以是無窮區(qū)間。其次，對于連續(xù)型隨機變量 X，取任一指定 的實數(shù)值 x 的概率都等于 0，即 P{X=x}=0。于是，如何刻畫一般的隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律成了我們的首要問題。 定義 1 設 X 為隨機變量，稱函數(shù) F(x)=P{X≤x},x∈ (∞,+ ∞) 為 X 的分布函數(shù)。 注意，隨機變量的分布函數(shù)的定義適應于任意的隨機變量，其中也包含了離散型隨機變量，即離散型隨機變量既有分布律也有分布函數(shù)，二者都能完全描述它的統(tǒng)計規(guī)律性。 例 1 若 X 的分布律為 求 (1)F(1), 【答疑編號： 10020201 針對該題提問】 (2)F(), 【答疑編號： 10020202 針對該題提問】 (3)F(3), 【答疑編號： 10020203 針對該題提問】 (4)F() 【答疑編號： 10020204 針對該題提問】 解 由分布函數(shù)定義知 F(x)=P(X≤x) ∴ (1)F(1)=P(X≤1)=P(X=0)+ P(X=1)= (2)F()= P(X≤)=P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2)= (3)F(3) = P(X≤3)=P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)=+++= (4)F()= P(X≤)=1 P(X)=1 P(X=4) == 例 2 設離散型隨機變量 X 的分布律為 求 X 的分布函數(shù) 【答疑編號： 10020205 針對該題提問】 解 當 x1 時， F(x)=P{X≤x}=P(X1)=0 當 1≤x0時， F(x)=P{X≤x}=P{X= 1}= 當 0≤x1時， F(x)=P{X≤x}=P{X= 1}+ P{X=0}=+= 當 1≤x2時， F(x)=P{X≤x}=P{X= 1}+ P{X=0}+ P{X=1}=++= 當 x≥2時， F(x)=P{X≤x}=P{X= 1}+ P{X=0}+ P{X=1}+ P{X=2}=+++=1 則 X 的分布函數(shù) F(x)為 F(x)的圖象見圖 。 從 F(x)的圖像可知， F(x)是分段函數(shù)， y=F(x)的圖形階梯曲線，在 X 的可能取值 1,0,1,2處為 F(x)的跳躍型間斷點。 一般地， 對于 離散型隨機變量 X，它的分布函數(shù) F(x)在 X 的可能值 處具有跳 躍，跳躍值恰為該處的概率 ， F(x)的圖形是階梯形曲線， F(x)為分段函數(shù)，分段點仍是 。 另一方面，由例 2中分布函數(shù)的求法及公式（ ）可見，分布函數(shù)本質(zhì)上是一種累計概率。 一般地，若 X 的分布律是 則有 X 的分布函數(shù)為 公式： 所以，例 2 中 X 的分布函數(shù)為 （二）分布函數(shù)的性質(zhì) 分布函數(shù)有以下基本性質(zhì)： （ 1） 0≤F(x) ≤1. 由于 F(x) =P{X≤x}，所以 0≤F(x) ≤1. （ 2） F(x)是不減函數(shù)，即對于任意的 有 因為當 時， ，即 從而 （ 3） F(∞)=0， F(+∞)=1，即 從此，我們不作嚴格證明，讀者可從分布函數(shù)的定義 F(x) =P{X≤x}去理解性質(zhì)（ 3）。 （ 4） F(x)右連續(xù)，即 證明略。 例 2 設隨機變量 X 的分布函數(shù)為 其中 λ0為常數(shù)，求常數(shù) a 與 b 的值。 【答疑編號： 10020206 針對該題提問】 解 ，由分布函數(shù)的性質(zhì) F(+∞)=1，知 a=1；又由 F(x)的右連續(xù)性，得到 由此，得 b= 1. 已知 X 的分布函數(shù) F(x)，我們可以求出下列重要事件的概率： 1176。P{X≤b}=F(b). 【答疑編號： 10020207 針對該題提問】 2176。P{aX≤b}=F(b)F(a)，其中 ab. 【答疑編號： 10020208 針對該題提問】 3176。P{Xb}=1F(b) 【答疑編號： 10020209 針對該題提問】 證 1176?！?F(x)=P{X≤x} ∴ F(b)=P{X≤b} 2176。P{aX≤b}= P{X≤b} P{ X≤a} = F(b)F (a) 3176。P{Xb}=1 P{X≤b}=1 F(b) 例 3 設隨機變量 X 的分布函數(shù)為 求 【答疑編號： 10020210 針對該題提問】 【答疑編號： 10020211 針對該題提問】 【答疑編號： 10020212 針對該題提問】 解 例 4 求 01 分布的 x的分布函數(shù) 【答疑編號： 10020213 針對該題提問】 解：已知 所以 例 5 設 X～ F(x)=a+barctanx(∞x+∞) 求 （ 1） a 與 b 【答疑編號： 10020214 針對該題提問】 （ 2） P(1X≤1) 【答疑編號： 10020215 針對該題提問】 解：（ 1） ∵ F(∞)=0， F(+∞)=1 解得 , （ 2） 167。 連續(xù)型隨機變量及概率密度 （一）連續(xù)型隨機變量及其概率密度 定義 若隨機變量 X 的分布函數(shù)為 其中 f(t)≥0。 就是說 X 是 連續(xù)型隨機變量，并且非負函數(shù) f(x)是連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。 由連續(xù)型隨機變量及概率密度函數(shù)的定義知概率密度有下列性質(zhì) （ 1） 【答疑編號： 10020216 針對該題提問】 （ 2） 【答疑編號： 10020217 針對該題提問】 （ 3） （ a≤b） 【答疑編號： 10020218 針對該題提問】 前面已曾經(jīng)證明，由于連續(xù)型隨機變量是在一個區(qū)間或幾個區(qū)間上連續(xù)取值，所以它在任何一點上取值的概率為零，即 若 X 是連續(xù)型隨機變量則有 P(X=x)=0,其中 X 是任何一個實數(shù)。 ∴ 有 （ 4） f(x)≥0 【答疑編號： 10020219 針對該題提問】 證（ 1）在微積分中已知積分上限的函數(shù) 對上限 x的導數(shù) 它說明分布函數(shù)是概率密度的原函數(shù)，并且證明連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù) F(x)是處處可導函數(shù)，所以連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù) F(x)處處連續(xù)。 （ 2） （ 3） ∵ P(aX≤b)=F(b)F(a) 因為 F(x)是 f(x)的原函數(shù) 因此，對連續(xù)型隨機變量 X 在區(qū)間上取值的概率的求法有兩種： （ 1）若 F(x)已知，則 P(aX≤b)=F(b)F(a) （ 2）若 f(x)已知，則 P(aX≤b)= 例 1 設 求（ 1） c 【答疑編號： 10020220 針對該題提問】 （ 2） 【答疑編號： 10020221 針對該題提問】 解（ 1） 而 時， p(x)=0, （ 2） 例 X 的分布函數(shù)為 求： （ 1） X 的概率密度 f（ x） 。 【答疑編號： 10020301 針對該題提問】 （ 2） X 落在區(qū)間（ ， ）的概率。 【答疑編號： 10020302 針對該題提問】 解：（ 1） （ 2）有兩種解法： 或者 例 2－ 1 若 【答疑編號： 10020303 針對該題提問】 解： 例 2－ 2 若 求 x~f(x) 【答疑 編號： 10020304 針對該題提問】 解： 例 2－ 3，若 【答疑編號： 10020305 針對該題提問】 解： 例 【答疑