市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)量及管理-文庫吧資料
2025-01-18 23:08本頁面
【正文】 一、非正態(tài)分布的情況 在計(jì)算大型證券組合 VaR 時(shí)涉及大量的計(jì)算，應(yīng)用收益率的簡化假設(shè)，如 獨(dú)立同分布正態(tài)收益率假設(shè)，可以使風(fēng)險(xiǎn)管理者很快速計(jì)算所需要的風(fēng)險(xiǎn)值。 一種方法是計(jì)算整個(gè)頭寸（股票 +期權(quán)）的標(biāo)準(zhǔn)差，并應(yīng)用 VaR. 這是一個(gè)相對(duì)簡單的方法，因?yàn)?，如? 服從正態(tài)分布，則所有矩的分析表達(dá)式均可以寫出：例如（數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)中）， 這里， 這樣，我們得到 : 因此， 這里，我們假設(shè) 這個(gè)結(jié)果比用 delta method更接近與實(shí)際值。 （二） The DeltaGamma Method 因此，使用正態(tài)分布假設(shè)的優(yōu)點(diǎn)在這里消失。 應(yīng)用上述例子 (Taylor expansion),我們有： 這樣，有： 或： 從上述公式，我們立刻可以看出使用高階項(xiàng)估計(jì)衍生證券風(fēng)險(xiǎn)的問題。在這種情況下，估計(jì)值超過實(shí)際的 a 99% one day VaR，但是，同樣的非線性也可能會(huì)低估 a 99% one day VaR。 看跌期權(quán)的價(jià)格為： 評(píng)論（ 2） 總頭寸的價(jià)值下跌（也就是 VaR ）為： 可見，與 $，其差異的原因是相對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)，看跌期權(quán)的價(jià)值是非線性的 (價(jià)值上升的快，進(jìn)而高估了 VaR)。 （ 2）為了進(jìn)一步考察近似的程度，我們計(jì)算看跌期權(quán)的價(jià)值，這里收益率為均值 standard deviations （假設(shè)均值為 0） 這樣，日收益率為： 是低于均值 standard deviations的股票收益率 (這也是用于計(jì)算沒有期權(quán)時(shí) 99% VaR的分界值）。Delta方法僅僅在股票價(jià)格小的變化時(shí)才適用。這部分我們將應(yīng)用 “ Delta Method” method 和 “ DeltaGamma Method” method處理這類問題 . 令 為資產(chǎn) St以價(jià)值形式表示的收益 (是絕對(duì)值而不是百分比 ). 如果 （一） DeltaMethod 假設(shè)一個(gè)衍生證券在 t時(shí)刻的價(jià)格為 其中， 為標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格 該衍生證券的 delta值為 ： 該衍生證券在 t+1 時(shí)刻的價(jià)格為： 那么，該衍生證券在 t+1 時(shí)刻的收益為： 這樣，衍生證券的收益也服從正態(tài)分布，其均值和均方差分別為： Example: 考慮一個(gè)投資在 SP500 market index上 $1 bil的養(yǎng)老基金和由3個(gè)月看跌期權(quán)保險(xiǎn)策略構(gòu)成的組合 假設(shè) SP500 = 936，三個(gè)月看跌期權(quán)（執(zhí)行價(jià) K = 930 ）的價(jià)格為 ft = $36。 應(yīng)用歷史數(shù)據(jù)， 假設(shè) 這樣， )1(1010101111???????????????ttYttYtttteMmilMmileMmilVVV 這意味著有 99%的可能性，投資收益率大于 ： 因此，投資在 Frankfurt Stock Market Index上的 Million dollar， a 99% 1day VaR 為： 這樣與傳統(tǒng)意義上的 VaR是否一致？ 六、含有非線性衍生品組合的 VaR 我們以前的分析，都是假定資產(chǎn)的收益率服從正態(tài)分布，但存在一種重要的情況是，當(dāng)組合中包含衍生證券時(shí)，組合的收益率不服從正態(tài)分布，因?yàn)檠苌C券的價(jià)值相對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)而言是非線性的。 實(shí)例 假設(shè)我們?cè)?Frankfurt Stock Market投資 10 mil 歐元的指數(shù)基金，設(shè)歐元的日收益率為 YM ， Frankfurt Stock Market 的收益率為 YS, 即： St 是 Frankfurt index在 t 時(shí)刻的價(jià)格，這里時(shí)間單位為 “ one day”。例如，如果你購買了一個(gè) Frankfurt市場(chǎng)上的指數(shù)基金，那么，在將來你投資的總價(jià)值是由歐元的股票價(jià)格乘歐元的美圓價(jià)格得出 (看下面的例子 )。 注意， 20day 的收益率是正態(tài)分布隨機(jī)變量的乘積而不是隨機(jī)變量的和，因此，如果不使用連續(xù)復(fù)利收益率，則 20day 收益率的分析將變的十分復(fù)雜。 例如，假設(shè)我們有收益率的日均值和日方差，如果改變時(shí)間長度，計(jì)算一個(gè)月收益率的均值和方差（一個(gè)月為 20個(gè)交易日）。正如我們上面分析的，這個(gè)假設(shè)保證匯率 M t ?1 是對(duì)數(shù)正態(tài)分布。事實(shí)上，從上述例子中我們已經(jīng)知道，僅投資于歐元（ EU）的 VaR $78, ! 五、 連續(xù)復(fù)利正態(tài)分布收益率的 VaR 連續(xù)復(fù)利正態(tài)分布的含義 連續(xù)正態(tài)分布收益率的 假設(shè)在很多情況下，可以使問題的分析得以簡化 。 等式兩邊同除以 ，得： 我們有： 這樣： VaR的分解！ 這里， 記： 表示由于資產(chǎn) i 的微小增加導(dǎo)致總的 VaR的變化， 這樣，定義資產(chǎn) i 的邊際 VaR 為： 實(shí)例 考慮上節(jié)的例子： 這樣， 重要提示 將 VaR 分解為邊際 VaR ，并不意味著我們?nèi)∠Y產(chǎn) i, 余下資產(chǎn)的 VaR等于最初總的 VaR減去 IVaRi。 增加 VaR的引出 如果在證券 I上 增加 1美圓的投資，考慮證券組合 VaR的邊際變化是多少。 為了估計(jì)金融機(jī)構(gòu)總的風(fēng)險(xiǎn)，我們將金融機(jī)構(gòu)看成證券組合，計(jì)算證券組合一天的 VaR。 例如，考慮一個(gè)金融機(jī)構(gòu)，它提供一組金融服務(wù)。這并不奇怪，它僅僅是分散化原理的再現(xiàn)。 測(cè)度的是收益率 對(duì)第 k個(gè)因素的敏感性。 是組合的收益率期望值和標(biāo)準(zhǔn)差， 這樣， 1 day VaR可以由下式給出： 當(dāng)然，這里涉及大量的統(tǒng)計(jì)計(jì)算問題，但基本思想與上面討論的相同。 假設(shè) 服從聯(lián)合正態(tài)分布，那么組合的變化值 也服從正態(tài)分布 記 為 的均值， 為證券 與證券 收益率的協(xié)方差， 為證券 收益率的方差 則： 這樣，我們可以用同樣方法求出證券組合的 VaR。 其中， )(1)(10110110111111tttttttttttttJJJb ilMMMmilJb ilMmilJb ilMmilVVV????????????????????????, 1 , JtmilR milR??? ? ?),(~ 2V1 ??Vt NV??這樣， 99%， 1天的 VaR 為： VaR = $177, 也就是說，只有 1% 的概率，在未來 24 小時(shí)內(nèi)，組合的損失大于 $177,。 ()Z ?? ttt VVV ??? ?? 11,1MtR ?? 1tV?? ????????)(?V? 2( , )vVN ??( ( )vVVZ? ? ?? ? ? ?1Pr( ( )) 1tVV ???? ?? ??Z ??這樣， ， 1 day Value at Risk 為： VaR =
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