可微性與偏導(dǎo)數(shù)-文庫(kù)吧資料
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【正文】 A x B y ?? ? ?? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) | | | | | |2 | | | | 1 2 ( | | | | ) x yA B A B? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?????第四步 :d?再證 是有界量 由上式進(jìn)一步可得 22211 2 ( | | | | 1 ) .zdzzAB?? ? ??? ??? ??? ? ? ????? ? ? ? ?0 0 0( , )P x y根據(jù)第二步的分析，這就證得 在點(diǎn) 可微 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 0 0 0( , )P x y定理 說(shuō)明 : 函數(shù) 在點(diǎn) 可微 , 則曲面 0 0 0( , ) ( , , )z f x y P x y z? 在點(diǎn)處的切平面方程為 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( ) ( , ) ( ) .xyz z f x y x x f x y y y? ? ? ? ? (13) 過(guò)切點(diǎn) P 與切平面垂直的直線稱(chēng)為曲面在點(diǎn) P 的 法線 . 由切平面方程知道， 法向量 為 0 0 0 0( ( , ) , ( , ) , 1 ) ,xyn f x y f x y? ? ?于是過(guò)切點(diǎn) P 的法線方程為 0 0 00 0 0 0.( , ) ( , ) 1xyx x y y z zf x y f x y? ? ???? (14) 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 二元函數(shù)全微分的幾何意義 : 如圖 17 – 4 所示 , 當(dāng)自 0 0 0 0d ( , ) ( , ) ,xyz f x y x f x y y????的全微分 而在點(diǎn) 00( , )xy00( , )xy 00( , )x x y y????變?yōu)? 時(shí) , 函 變量 由 ( , )xy是 z 軸方向上的一段 NQ。 在第二個(gè)括號(hào)里的是函數(shù) 0( , )f x y關(guān)于 y 的增量 . 第二步 對(duì)它們分別應(yīng)用一元函數(shù)的拉格朗日中值 定理 , 則 12, ( 0 , 1 ) ,????使得 證 第一步 把全增量 寫(xiě)作 z?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 0 1 00 0 2( , )( , ) .xyz f x x y y xf x y y y??? ? ? ???? ? ??? (9) 00, ( , ) ,xyf f x y在點(diǎn) 連續(xù)第三步 由于 因此有 ( , ) ( 0 , 0 ) , 0 , 0 .xy ????其中當(dāng) 時(shí)? ? ?0 0 0 0( , ) ( , ) .xyz f x y x f x y y x y??? ? ? ? ?? ? ? ?第四步 將 (10), (11) 代入 (9) 式 , 得到 由可微定義的等價(jià)式 (4), 便知 00( , ) .f x y在點(diǎn) 可微0 0 2 0 0( , ) ( , ) ,yyf x y y f x y???? ? ?(11) 0 1 0 0 0( , ) ( , ) ,xxf x x y y f x y????? ? ? ?(10) 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 定理 容易驗(yàn)證例 2 中的函數(shù) 3 2 3( , ) 2f x y x x y y? ? ?滿足定理 的條件 , 故在點(diǎn) (1, 3) 可微 (且在 2R上處處可微 )。x xxf x ffxx?????????? ? ?再看一個(gè)例子 : 在原點(diǎn)的可微性． 222222, 0 ,( , )0 , 0xyxyxyf x yxy?????? ?????例 5 考察函數(shù) 解 按偏導(dǎo)數(shù)的定義先求出 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 同理可得 ( 0 , 0 , ) 0 .yf ?若 f 在原點(diǎn)可微 , 則 22( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) [ ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) ]xyf x y f f x f yxyxy? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ?22xy? ????應(yīng)是 的高階無(wú)窮小量. 然而, 極限220limxyxy? ???? ? ?卻不存在 (第十六章 167。zu xyx? ? ? ??22 c o s ( e ) 。返回 后頁(yè) 前頁(yè) 167。 1 可微性與偏導(dǎo)數(shù) 本節(jié)首先討論二元函數(shù)的可微性 , 這是多元函數(shù)微分學(xué)最基本的概念 . 然后給出對(duì)單個(gè)自變量的變化率 , 即偏導(dǎo)數(shù) . 偏導(dǎo)數(shù)無(wú)論在理論上或在應(yīng)用上都起著關(guān)鍵性的作用 . 四、 可微性的幾何意義及應(yīng)用 返回一、 可微性與全微分 二、 偏導(dǎo)數(shù) 三、 可微性條件 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 一、 可微性與全微分 定義 1 設(shè)函數(shù) 0( , ) ( )z f x y U P? 在某鄰域內(nèi)有定 0 0 0( , ) ( , ) ( ) ,P x y x x y y U P??? ? ? ?義 .對(duì)于 若 f 在 0P :z? 可表示為的全增量 0 0 0 0( , ) ( , )( ) ,z f x x y y f x yA x B y o ?? ? ???? ? ? ?? ? ?(1) 0P 22 ,xy? ????其中 A,B是僅與點(diǎn) 有關(guān)的常數(shù) , ()o ??是 0P的高階無(wú)窮小量 , 則稱(chēng) f 在點(diǎn) 可微 . 并稱(chēng) (1) 式中關(guān)于 ,x y A x B y? ? ? ??的線性表達(dá)式返回 后頁(yè) 前頁(yè) | |, | |xy?? dz由 (1), (2) 可見(jiàn) ,當(dāng) 充分小時(shí) , 全微分
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