【正文】 ?0 0 02 2 2( ) ( ) ( ) ,d x x y y z z ?? ? ? ? ? ? ?00hd ???因此, 由 ，并當 時有220 0 0 0| ( ) | 10,1 ( , ) ( , )xyh h od f x y f x y???? ? ? ???P 到 Q 的距離為 返回 后頁 前頁 ? ( , )z f x y? 在點根據(jù)定義 3 便知 平面 即為曲面 P 的切平面． ? ( , )z f x y P? 在點(必要性 ) 若曲面 存在不平行于 z 軸的切平面 0 0 0( ) ( ) .Z z A X x B Y y? ? ? ? ?第一步 設 Q(x, y, z) 是曲面上任意一點 , 由 Q 到這 個平面的距離為 0 0 022| ( ) ( ) | .1z z A x x B y yhAB? ? ? ? ????返回 后頁 前頁 QP? ? , 當 時 , 有 因 此對于充分接近的 P 與 Q, 有 2 2 2 2| | 1 ,1 2 1h z A x B yd d A B A B? ? ?????? ? ? ?由此則得 221| | .22dz A x B y z?? ? ? ?? ? ? ? ?0 0 02 2 2 2 2, , ,.x x x y y y z z zx y d x y z?? ? ?? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?令 返回 后頁 前頁 ( ) ( ) .z A x B y o ?? ? ?? ? ?| ( ) |r at i o z A x B y?? ? ? ? ?由于 ＝＝ def2222|| 11z A x B y d ABd AB ???? ? ? ? ?? ? ? ????????221,hd ABd ?????? ? ? ? ??? ???? ??f 0 0 0( , )P x y第二步 分析 : 要證明 在點 可微 , 事實 上就是需證 返回 后頁 前頁 因此 , 若能證得當 d??充分小時， 為一有界量，則有 0l i m r a t i o = 0 .? ?|| :z?? 是有界量 | | | | | |a b a b? ? ?由第三步 先證 可推得 2211| | | || | | || | ( | | ) ,22z A x B y z z??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?故有 11| | | | | | | | | | ,22z A x B y ?? ? ?? ? ?返回 后頁 前頁 | | | | | |2 | | | | 1 2 ( | | | | ) x yA B A B? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?????第四步 :d?再證 是有界量 由上式進一步可得 22211 2 ( | | | | 1 ) .zdzzAB?? ? ??? ??? ??? ? ? ????? ? ? ? ?0 0 0( , )P x y根據(jù)第二步的分析，這就證得 在點 可微 . 返回 后頁 前頁 0 0 0( , )P x y定理 說明 : 函數(shù) 在點 可微 , 則曲面 0 0 0( , ) ( , , )z f x y P x y z? 在點處的切平面方程為 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( ) ( , ) ( ) .xyz z f x y x x f x y y y? ? ? ? ? (13) 過切點 P 與切平面垂直的直線稱為曲面在點 P 的 法線 . 由切平面方程知道， 法向量 為 0 0 0 0( ( , ) , ( , ) , 1 ) ,xyn f x y f x y? ? ?于是過切點 P 的法線方程為 0 0 00 0 0 0.( , ) ( , ) 1xyx x y y z zf x y f x y? ? ???? (14) 返回 后頁 前頁 二元函數(shù)全微分的幾何意義 : 如圖 17 – 4 所示 , 當自 0 0 0 0d ( , ) ( , ) ,xyz f x y x f x y y????的全微分 而在點 00( , )xy00( , )xy 00( , )x x y y????變?yōu)? 時 , 函 變量 由 ( , )xy是 z 軸方向上的一段 NQ。在點 處連續(xù) 但不存在偏導數(shù)(ii) ( 0 , 0 ) , 。zu xyx? ? ? ??22 c o s ( e ) 。 2 例 3), 故此 f (x, y) 在原點不可微 . 返回 后頁 前頁 以前知道，一元函數(shù)可微與存在導數(shù)是等價的．而 這個例子說明 : 對于多元函數(shù) , 偏導數(shù)即使都存在 , 該函數(shù)也不一定可微．現(xiàn)在不禁要問 : 當所有偏導 數(shù)都存在時 , 還需要添加哪些條件 , 才能保證函數(shù)可 微呢 ? 請看如下定理 : 定理 ( 可微的充分條件 ) 若函數(shù) ( , )z f x y? 在 0 0 0( , )P x y ,xyff與點 的某鄰域內存在偏導數(shù) 且它 0P f 0P在點們在點 連續(xù) , 則 可微 . 返回 后頁 前頁 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0( , ) ( , )[ ( , ) ( , ) ][ ( , ) ( , ) ] .z f x x y y f x yf x x y y f x y yf x y y f x y? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?在第一個方括號里的是函數(shù) 0( , )f x y y??關于 x 的增