可微性與偏導(dǎo)數(shù)-閱讀頁
2025-08-09 02:49本頁面
【正文】 可微； 例 4 中的函數(shù) 23s i n ( e ) Rzu x y 在 上同樣可微.? ? ?注意 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)并不是可微的必要條件，例如 返回 后頁 前頁 2 2 2 222221( ) sin , 0 ,( , )0 , 0 .x y x yxyf x yxy?? ? ???? ?????它在原點(diǎn) (0,0) 處可微 , 但 xyff與 卻在該點(diǎn)不連續(xù) (見本節(jié)習(xí)題 7，請自行驗(yàn)證 ). 所以定理 是可 微的充分性定理． ( , )f x y 00( , )xy在點(diǎn)xyff與若 的偏導(dǎo)數(shù) 都連續(xù) , 則 00( , )f x y稱 在點(diǎn) 連續(xù)可微 ． 在定理 證明過程中出現(xiàn)的 (9) 式 , 實(shí)際上是二 返回 后頁 前頁 ( , ) ,xy導(dǎo)數(shù), 若 屬于該鄰域 則存在元函數(shù)的一個(gè)中值公式 , 將它重新寫成定理如下 : 0 0 000( , ) ( , ) ( , ) ( )( , ) ( ) .xyf x y f x y f y x xf x y y??? ? ??? (12) 00( , )f x y在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)存在偏 定理 設(shè)函數(shù) 120 , 1 ,????和 0 1 0()x x x??? ? ?0 2 0( ) ,y y y??? ? ?使得返回 后頁 前頁 四、可微性的幾何意義及應(yīng)用 一元函數(shù) ()?y f x可微，在幾何上反映為曲線存在 不平行于 y 軸的切線 . 對于二元函數(shù)而言 , 可微性 則反映為曲面與其切平面之間的類似關(guān)系 . 為此需 要先給出切平面的定義 , 這可以從切線定義中 獲得 啟發(fā) . 在第五章 167。 ( , )z f x y? 的增量 z?數(shù) 則是切平面 上相應(yīng) 的那 一段 增量 NM. 于 12P M M M而趨于零 , 而且是較 高階的無窮小量 . ?? 0?是 , 與 dz 之差是 MQ 那一段，它的長度將 隨著 z?返回 后頁 前頁 圖 17 – 4 xyzOS?PQ1Q2QM1M2MN1N2N?00( , )xy00( , )? ? ? ?x x y y????????????返回 后頁 前頁 例 6 試求拋物面 22 0 0 0( , , )z a x b y P x y z?? 在點(diǎn)處 的切平面方程與法線方程，其中 220 0 0 .z a x b y??解 0 0 0 0 0 0( , ) 2 , ( , ) 2 ,xyf x y a x f x y b y??由公式 (13), 在點(diǎn) P 處的切平面方程為 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( ) .z z a x x x b y y y? ? ? ? ?220 0 0 ,z a x b y又因 所以它可化簡為??0 0 02 2 0 .a x x b y y z z? ? ? ?由公式 (14), 在點(diǎn) M 處的法線方程為 返回 后頁 前頁 0 0 000.2 2 1x x y y z za x b y? ? ??? ?下面的例 8 和例 9 是利用線性近似公式 (3) 所作的 近似計(jì)算和誤差估計(jì) . 例 7 求 3 . 9 61 . 0 8 的近似值 . ( , ) ,yf x y x? 00 1 , 4 , 0 . 0 8 ,x y x? ? ? ?并令解 設(shè) 0 . 0 4 .y? ? ?由公式 (3)，有 3 . 9 6 001 . 0 8 ( , )f x x y y??? ? ?( 1 , 4 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 4 )xyf f x f y??? ? ?返回 后頁 前頁 41 4 0 . 0 8 1 l n 1 ( 0 . 0 4) 1 . 3 2 .? ? ? ? ? ? ? ?例 8 1 s in2S a b C應(yīng)用公式 計(jì)算某三角形的面積,?1 2 . 5 0 , 8 . 3 0 , 3 0 . ,a b C a b現(xiàn)測得 若測量 的誤? ? ?0 . 0 1 , 0 . 1 ,C差為 測量 的誤差為 試求用此公式??計(jì)算三角形面積時(shí) 的絕對誤差限和相對誤差限 . 解 依題意，測量 a, b, C 的絕對誤差限分別為 | | 0 . 0 1 , | | 0 . 0 1 , | | 0 . 1 .1800a b C ?? ? ?? ? ? ?由于 返回 后頁 前頁 | | | d || | | | | |S S SS S a b Ca b CS S Sa b Ca b C? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?因此將各數(shù)據(jù)代入上式 , 即得 S 的絕對誤差限為 | | 0 . 1 3 .S? ?11| sin | | | | sin | | |221| c os | | |,2b C a a C bab C C???? ? ? ???返回 后頁 前頁 1 1 1s in 1 2 . 5 0 8 . 3 0 2 5 . 9 4 ,2 2 2S a b C? ? ? ? ? ?0 .1 3 0 . 5 % .2 5 .9 4SS? ??又因 所以 S 的相對誤差限為 返回 后頁 前頁 復(fù)習(xí)思考題 1. 已知函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)的存在性、可微性和 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性之間有如下關(guān)系 : 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 可 微 連 續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在 返回 后頁 前頁 試舉出能分別滿足如下要求的函數(shù) ( , ) :f x y(i) ( 0 , 0 ) , 。在點(diǎn) 處不連續(xù) 但存在偏導(dǎo)數(shù)(iii) ( 0 , 0 )
法律信息相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1