可微性與偏導(dǎo)數(shù)-文庫吧
2025-07-10 02:49 本頁面
【正文】 ( , ) ,xyf x y f x yf x y f x yxy??????????或或, , , , .x x y yfff z f zxy????????也可簡單地寫作 或 或偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 : ( , )z f x y? 的幾何圖象通常是 三維空間中的曲面 , 設(shè) 0 0 0 0( , , )P x y z為此曲面上一 0 0 0( , ) .z f x y? 00 ,P y y?過點 作平面 它與點 , 其中 曲面相交得一曲線： 0: , ( , ) .C y y z f x y??返回 后頁 前頁 如圖 171 所示，偏導(dǎo)數(shù) 00( , )xf x y的幾何意義為 : 在平面 0yy? 上 , 曲線 C 在點 P0 處的切線與 x 軸 ? 00( , ) t a n .xf x y ??正向所成傾角 的正切，即 ?x yzO0P 圖 171 0y( , )z f x y?C?返回 后頁 前頁 可同樣討論偏導(dǎo)數(shù) 00( , )yf x y的幾何意義 (請讀者自 行敘述 )． 由偏導(dǎo)數(shù)的定義還知道 , 多元函數(shù) f 對某一個自變 量求偏導(dǎo)數(shù) , 是先把別的自變量看作常數(shù) , 變成一 元函數(shù)的求導(dǎo) . 因此第五章中有關(guān)求導(dǎo)數(shù)的一些基 本法則 , 對多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)仍然適用 . 例 2 3 2 3( , ) 2 ( 1 , 3 )f x y x x y y求函數(shù) 在點 處關(guān)? ? ?于 x 和關(guān)于 y 的偏導(dǎo)數(shù) . 解 先求 f 在點 (1, 3) 處關(guān)于 x 的偏導(dǎo)數(shù) . 為此 , 令 返回 后頁 前頁 y = 3, 得到 32( , 3 ) 6 2 7 ,f x x x? ? ?求它在 x = 1 的 導(dǎo) 數(shù) , 則得 211d ( , 3 )( 1 , 3 ) ( 3 12 ) 15.dx xxfxf x xx ??? ? ? ?再求 f 在 (1, 3) 處關(guān)于 y 的偏導(dǎo)數(shù) . 為此令 x = 1, 得 3( 1 , ) 1 2 ,f y y y? ? ? 求它在 y = 3 處的導(dǎo)數(shù) , 又得 233d ( 1 , )( 1 , 3 ) 2 3 25.dy yyfyfyy ??? ? ? ? ?通常也可先分別求出關(guān)于 x 和 y 的偏導(dǎo)函數(shù) : 返回 后頁 前頁 222( , ) 3 4 ,( , ) 2 3 .xyf x y x x yf x y x y????然后以 (x, y) = (1, 3) 代入 , 也能得到同樣結(jié)果 . 例 3 求函數(shù) ( 0 )yz x x??的偏導(dǎo)數(shù) . 解 把 yzx? 依次看成冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù) , 分別求得 1 , ln .yyzzy x x xxy???? ? ?例 4 求三元函數(shù) 2s in ( e )zu x y? ? ?的偏導(dǎo)數(shù) . 解 把 y 和 z 看作常數(shù) , 得到 返回 后頁 前頁 2c o s ( e ) 。zu xyx? ? ? ??22 c o s ( e ) 。zu y x yy? ? ? ??2e c o s ( e ) .zzu xyz? ? ? ? ??把 z , x 看作常數(shù) , 得到 把 x, y 看作常數(shù) , 得到 返回 后頁 前頁 三、可微性條件 0 0 0( , ) ,f P x y f在點 可微 則 在由可微定義易知 : 若 0P 必連續(xù) .這表明 : “ 連續(xù)是可微的一個必要條件． ” 此外 , 由 (5), (6) 兩式又可得到可微的另一必要條 件 : 定理 若二元函數(shù) f 在其定義域內(nèi)一點 ( x0, y0 ) 處可微 , 則 f 在該點關(guān)于每個自變量的偏導(dǎo)數(shù)都存 在．此時 , (1) 式中的 返回 后頁 前頁 0 0 0 0( , ) , ( , ) .xyA f x y B f x y??于是 , 函數(shù) 00( , )f x y在點 的全微分 (2) 可惟一地表 示為 0 0 0 0 0 0d ( , ) ( , ) ( , ) .xyf x y f x y x f x y y????與一元函數(shù)一樣 , 若約定自變量的增量等于自變量 的微分，即 d , d ,x x y y????則全微分又可寫為 0 0 0 0 0 0d ( , ) ( , ) d ( , ) d .xyf x y f x y x f x y y??返回 后頁 前頁 若函數(shù) f 在區(qū)域 D 的每一點 (x, y) 都可微 , 則稱函 數(shù) f 在區(qū)域 D 上可微，且 f 在 D 上的全微分為 d ( , ) ( , )d ( , )d .xyf x y f x y x f x y y??(8) 定理 17. 1 的應(yīng)用 : 對于函數(shù) 22( , ) ,f x y xy? ?由于 ( , 0 ) | | , ( 0 , ) | | ,f x x f y y??0x ?它們分別在 0y ?與 ( 0 , 0)xf 與都不可導(dǎo)，即 ( 0 , 0 ) ,yf 都不存在( , ) ( 0 , 0 ) .f x y 在點 不可微故 返回 后頁 前頁 00( , 0 ) ( 0 , 0 ) 0 0( 0 , 0 ) li m li m 0 。x xxf x ffxx?????????? ? ?再看一個例子 :
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