16733解對初值的連續(xù)性和可微性定理-文庫吧
2025-07-29 14:17 本頁面
【正文】 .其中 為所考慮 區(qū)間內(nèi)的某一值。 ( , )f x y( , )dy f x ydx ?()x? ()x?0x 000( ) ( ) ( ) ( )L x xx x x x e? ? ? ? ?? ? ?證明 令上均有定義在區(qū)間設(shè) ,],[)(),( baxx ??],[,))()(()( 2 baxxxxV ??? ???)(39。 xV則 ))()((2 xx ?? ??))()((2 xx ?? ? ))()(( 39。39。 xx ?? ?))(,())(,(( xxfxxf ?? ?))(,())(,() ) (()((2)(39。 xxfxxfxxxV ???? ???))()(())()((2 xxLxx ???? ??? )(2 xLV?于是 0))(( 2 ?? LxexVdxd有因?qū)?],[0 bax ??bxxexVxV xxL ??? ? 0)(20 ,)()( 0，xxa 類似可證對 0??因此 ],[,)()( 020 baxexVxV xxL ?? ?兩邊取平方根即得 ],[,)()()()( 000 baxexxxx xxL ???? ?????2 2 20 0 0 0( ) ( )x x y y ?? ? ? ?2 定理 1 (解對初值的連續(xù)依賴性定理 ) 00 ?( , )x y G00?? ( , , )y x x yy( , )f x y條件 : I. 在 G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 滿足局部 。 II. 是 (1)滿足 的解 ,定義 區(qū)間為 [a,b]. 0? ? ?? ? ?( , , )ab0???結(jié)論 : 對 , 使得當 00?? ( , , )y x x y00( , )xy0 0 0 0? ? ?? ? ? ?( , , ) ( , , ) , .x x y x x y a x b時 ,方程 (1)過點 的解 在 [a,b]上也有 定義 ,且 2 1? ? ?( , ) , ( ) ), (dy f x y x y G Rdx方程 xy0 00( , )p x ya bm in ( , / 2 )? ? ??0x0y0y0xGD思路分析： 記積分曲線段 S： 顯然 S是 xy平面上的有界閉集 . 00??? ? ?( , , ) ( ) , [ , ]y x x y x x a b第一步 :找區(qū)域 D,使 ,且 在 D上滿足 . SD? ( , )f x yy x G 00( , )xy00: ( , , )S y x x y??iC(見下圖 ) 由已知條件 ,對 ,存在以它為中心的圓 ,使 在其內(nèi) 滿足 ,利普希茨常數(shù)為 .根據(jù)有限 覆蓋定理 ,存在 N,當 時 ,有 ??( , )x y S iCG?( , )f x y iL1NiiGC?? S G G??對 ,記 0???? ?( , ) , m in , / 2d G S? ? ? ?? ? ?則以 為半徑的圓 ,當其圓心從 S的 左端點沿 S 運動到右端點時 ,掃過 的區(qū)域即為符合條件的要找區(qū)域 D ?? ?1m a x , , NL L L? Gb a xy0 00( , )p x ya bm in( , / 2)? ? ??0x0yGDxy0 00( , )p x ya bm in ( , / 2 )? ? ??0x0y0y0xGD第二步 :證明
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