高等數(shù)學(xué)微積分課件--85高階偏導(dǎo)數(shù)-文庫吧
2024-12-24 13:30 本頁面
【正文】 2 1|,0|,2 1| zzCzBzzA PyyPxyPxx ?????????????? 故 )2(0)2(122 ?????? zzACB ,將 )1,1( ?P 代入原方程 ,當(dāng) 21 ??z 時(shí)， A=1/40 , 所以 2)1,1( ???? fz 為極小值；當(dāng) 62 ?z 時(shí)， A= 1/40 , 故 z=f(1,1)=6為極大值 . 11 多元函數(shù)的最值 ? 與一元函數(shù)相類似 ,我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值。 ? 求最值的一般方法： 將函數(shù)在定義區(qū)域 D內(nèi)所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值以及在 D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值。 ? 特殊方法： 區(qū)域 D內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)且為極值點(diǎn) ,即為相應(yīng)的最值點(diǎn)。 根據(jù)實(shí)際意義、實(shí)際經(jīng)驗(yàn)判斷是否為最值。 12 例題與講解（選講） ? 例：求二元函數(shù) z=x2y(4xy)在直線 x+y=6， x軸和 y軸所圍成閉區(qū)域 D上的最大值與最小值。 ? 解： 先求函數(shù)在 D內(nèi)的駐點(diǎn)， xyo6?? yxD解方程 ???????????????0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得區(qū)域 D 內(nèi)唯一駐點(diǎn) )1,2( ,再求 ),( yxf 在 D 邊界上的最值， 在邊界 0?x 和 0?y 上 0),( ?yxf ,在邊界 6?? yx 上，即 xy ?? 6于是 )2)(6(),( 2 ??? xxyxf ,由 02)6(4 2 ????? xxxf x ,得 4,0 21 ?? xx ,2|6 4 ???? ?xxy,64)2,4( ??f 比較后可知 f(2,1)=4為最大值 f(4,2)=64為最小值 13 例題與講解（重點(diǎn)） ? 例：某企業(yè)生產(chǎn)兩種商品的產(chǎn)量分別為 x、 y單位 ,利潤(rùn)函數(shù)為： L=642x2+4xy4y2+32y14，求最大利潤(rùn)。 ? 解：由極值的必要條件 04464 ????? yxL x04832 ????? xyL y解得唯一駐點(diǎn) (40,24). 由 04,4 ??????? ALxx 4,4 ???? BL xy08,8 ??????? CL yy 0162 ?????? ACB可知 ,唯一駐點(diǎn) (40,24)為極大值點(diǎn) ,亦即最大值點(diǎn)。 最大值為： L(40,24)=1650 答：兩產(chǎn)品產(chǎn)量分別為 40單位和 24單位時(shí) ,利潤(rùn)最大 , 最大利潤(rùn)為 1650單位。 14 例題與講解 ? 例：已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為 Q=,其中 Q為需求量 ,p為價(jià)格 ,x為廣告費(fèi) ,y為推銷費(fèi) ,若產(chǎn)品的可變成本為 25元 /件 ,固定成本 (不含 x,y)為 8000元。求最佳經(jīng)營(yíng)時(shí)的價(jià)格、廣告費(fèi)和推銷費(fèi)。 ? 解：利潤(rùn)函數(shù)為 )258000( yxQpQCRL ???????yxQp ????? 8 0 0 0)25(8 0 0 0)25(2 0 0 0 0 0: ????? ? yxyxppL整理得最佳經(jīng)營(yíng)時(shí) ,應(yīng)是總利潤(rùn)最大，故 0)75(1 0 0 0 0 0 ???? ? pyxpL p01)25(2 0 0 0 0 ????? ?? yxppL x01)25(6 0 0 0 0 ????? ?? yxppL y唯一駐點(diǎn)： p=75 x?355554 y?1066662 15 例題與講解 * ? 例：求 122 ?? ?? yx yxz 的最大值和最小值。 ? 解： ,0)1( )(2)1( 2222239。 ????????yxyxxyxzx,0)1( )(2)1( 2222239。 ????????yxyxyyxzy得駐點(diǎn) )21,21( 和 )21,21( ?? , 由 01l i m 22 ??? ????? yxyxyx因?yàn)楣?,邊界上的值為零 。而 ,21)21,21( ?z ,21)21,21( ????z所以 ,最大值為： ,21)21,21( ?z 最小值為： .21)21,21( ????z無條件極值： 對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外， 再無其他條件限制。 16 條件極值 ? 條件極值 ：對(duì)自變量有附加條件的極值。 ? 引例：小王有 200元錢，他決定用來購(gòu)買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶 ,設(shè)他購(gòu)買 x張磁盤 , y盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果 ,效果函數(shù)為 U(x,y)=lnx+lny。設(shè)每張磁盤 8元 ,每盒磁帶 10元 ,問他如何分配這 200元以達(dá)到最佳效果。 ? 問題的實(shí)質(zhì)：
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