【正文】 2 例 3), 故此 f (x, y) 在原點不可微 . 返回 后頁 前頁 以前知道，一元函數(shù)可微與存在導(dǎo)數(shù)是等價的．而 這個例子說明 : 對于多元函數(shù) , 偏導(dǎo)數(shù)即使都存在 , 該函數(shù)也不一定可微．現(xiàn)在不禁要問 : 當(dāng)所有偏導(dǎo) 數(shù)都存在時 , 還需要添加哪些條件 , 才能保證函數(shù)可 微呢 ? 請看如下定理 : 定理 ( 可微的充分條件 ) 若函數(shù) ( , )z f x y? 在 0 0 0( , )P x y ,xyff與點 的某鄰域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù) 且它 0P f 0P在點們在點 連續(xù) , 則 可微 . 返回 后頁 前頁 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0( , ) ( , )[ ( , ) ( , ) ][ ( , ) ( , ) ] .z f x x y y f x yf x x y y f x y yf x y y f x y? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?在第一個方括號里的是函數(shù) 0( , )f x y y??關(guān)于 x 的增量 。在點 處連續(xù) 但不存在偏導(dǎo)數(shù)(ii) ( 0 , 0 ) , 。返回 后頁 前頁 167。在點 處不連續(xù) 但存在偏導(dǎo)數(shù)(iii) ( 0 , 0 ) , 。x xxf x ffxx?????????? ? ?再看一個例子 : 在原點的可微性． 222222, 0 ,( , )0 , 0xyxyxyf x yxy?????? ?????例 5 考察函數(shù) 解 按偏導(dǎo)數(shù)的定義先求出 返回 后頁 前頁 同理可得 ( 0 , 0 , ) 0 .yf ?若 f 在原點可微 , 則 22( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) [ ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) ]xyf x y f f x f yxyxy? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ?22xy? ????應(yīng)是 的高階無窮小量. 然而, 極限220limxyxy? ???? ? ?卻不存在 (第十六章 167。 在第二個括號里的是函數(shù) 0( , )f x y關(guān)于 y 的增量 . 第二步 對它們分別應(yīng)用一元函數(shù)的拉格朗日中值 定理 , 則 12, ( 0 , 1 ) ,????使得 證 第一步 把全增量 寫作 z?返回 后頁 前頁 0 1 00 0 2( , )( , ) .xyz f x x y y xf x y y y??? ? ? ???? ? ??? (9) 00, ( , ) ,xyf f x y在點 連續(xù)第三步 由于 因此有 ( , ) ( 0 , 0 ) , 0 , 0 .xy ????其中當(dāng) 時? ? ?0 0 0 0( , ) ( , ) .xyz f x y x f x y y x y??? ? ? ? ?? ? ? ?第四步 將 (10), (11) 代入 (9) 式 , 得到 由可微定義的等價式 (4), 便知 00( , ) .f x y在點 可微0 0 2 0 0( , ) ( , ) ,yyf x y y f x y???? ? ?(11) 0 1 0 0 0( , ) ( , ) ,xxf x x y y f x y????? ? ? ?(10) 返回 后頁 前頁 定理 容易驗證例 2 中的函數(shù) 3 2 3( , ) 2f x y x x y y? ? ?滿足定理 的條件 , 故在點 (1, 3) 可微 (且在 2R上處處可微 )。 ( , )z f x y? 的增量 z?數(shù) 則是切平面 上相應(yīng) 的那 一段 增量 NM. 于 12P M M M而趨于零 , 而且是較 高階的無窮小量 . ?? 0?是 , 與 dz 之差是 MQ 那一段，它的長度將 隨著 z?返回 后頁 前頁 圖 17 – 4 xyzOS?PQ1Q2QM1M2MN1N2N?00( , )xy00( , )? ? ? ?x x y y????????????返回 后頁 前頁 例 6 試求拋物面 22 0 0 0( , , )z a x b y P x y z?? 在點處 的切平面方程與法線方程，其中 220 0 0 .z a x b y??解 0 0 0 0 0 0( , ) 2 , ( , ) 2 ,xyf x y a x f x y b y??由公式 (13), 在點 P 處的切平面方程為 0 0 0 0 02 ( ) 2 ( ) .z z a x x x b y y y? ? ? ? ?220 0 0 ,z a x b y又因 所以它可化簡為??0 0 02 2 0 .a x x b y y z z? ? ? ?由公式 (14), 在點 M 處的法線方程為 返回 后頁 前頁 0 0 000.2 2 1x x y y z za x b y? ? ??? ?下面的例 8 和例 9 是利用線性近似公式 (3) 所作的 近似計算和誤差估計 . 例 7 求 3 . 9 61 . 0 8 的近似值 . ( , ) ,yf x y x? 00 1 , 4 , 0 . 0 8 ,x y x? ? ? ?并令解 設(shè) 0 . 0 4 .y? ? ?由公式 (3)，有 3 . 9