可微性與偏導(dǎo)數(shù)(文件)
【正文】 ??? ??? ??? ? ? ????? ? ? ? ?0 0 0( , )P x y根據(jù)第二步的分析，這就證得 在點 可微 . 返回 后頁 前頁 0 0 0( , )P x y定理 說明 : 函數(shù) 在點 可微 , 則曲面 0 0 0( , ) ( , , )z f x y P x y z? 在點處的切平面方程為 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( ) ( , ) ( ) .xyz z f x y x x f x y y y? ? ? ? ? (13) 過切點 P 與切平面垂直的直線稱為曲面在點 P 的 法線 . 由切平面方程知道， 法向量 為 0 0 0 0( ( , ) , ( , ) , 1 ) ,xyn f x y f x y? ? ?于是過切點 P 的法線方程為 0 0 00 0 0 0.( , ) ( , ) 1xyx x y y z zf x y f x y? ? ???? (14) 返回 后頁 前頁 二元函數(shù)全微分的幾何意義 : 如圖 17 – 4 所示 , 當(dāng)自 0 0 0 0d ( , ) ( , ) ,xyz f x y x f x y y????的全微分 而在點 00( , )xy00( , )xy 00( , )x x y y????變?yōu)? 時 , 函 變量 由 ( , )xy是 z 軸方向上的一段 NQ。在點 處連續(xù) 存在偏導(dǎo)數(shù), 但不可微(iv) ( 0 , 0 ) .在點 處可微, 但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)2. 可微性定義中 , (1) 式與 (4) 式為何是等價的 ? 。在點 處連續(xù) 但不存在偏導(dǎo)數(shù)(ii) ( 0 , 0 ) , 。 在第二個括號里的是函數(shù) 0( , )f x y關(guān)于 y 的增量 . 第二步 對它們分別應(yīng)用一元函數(shù)的拉格朗日中值 定理 , 則 12, ( 0 , 1 ) ,????使得 證 第一步 把全增量 寫作 z?返回 后頁 前頁 0 1 00 0 2( , )( , ) .xyz f x x y y xf x y y y??? ? ? ???? ? ??? (9) 00, ( , ) ,xyf f x y在點 連續(xù)第三步 由于 因此有 ( , ) ( 0 , 0 ) , 0 , 0 .xy ????其中當(dāng) 時? ? ?0 0 0 0( , ) ( , ) .xyz f x y x f x y y x y??? ? ? ? ?? ? ? ?第四步 將 (10), (11) 代入 (9) 式 , 得到 由可微定義的等價式 (4), 便知 00( , ) .f x y在點 可微0 0 2 0 0( , ) ( , ) ,yyf x y y f x y???? ? ?(11) 0 1 0 0 0( , ) ( , ) ,xxf x x y y f x y????? ? ? ?(10) 返回 后頁 前頁 定理 容易驗證例 2 中的函數(shù) 3 2 3( , ) 2f x y x x y y? ? ?滿足定理 的條件 , 故在點 (1, 3) 可微 (且在 2R上處處可微 )。zu xyx? ? ? ??22 c o s ( e ) 。 1 可微性與偏導(dǎo)數(shù) 本節(jié)首先討論二元函數(shù)的可微性 , 這是多元函數(shù)微分學(xué)最基本的概念 . 然后給出對單個自變量的變化率 , 即偏導(dǎo)數(shù) . 偏導(dǎo)數(shù)無論在理論上或在應(yīng)用上都起著關(guān)鍵性的作用 . 四、 可微性的幾何意義及應(yīng)用 返回一、 可微性與全微分 二、 偏導(dǎo)數(shù) 三、 可微性條件 返回 后頁 前頁 一、 可微性與全微分 定義 1 設(shè)函數(shù) 0( , ) ( )z f x y U P? 在某鄰域內(nèi)有定 0 0 0( , ) ( , ) ( ) ,P x y x x y y U P??? ? ? ?義 .對于 若 f 在 0P :z? 可表示為的全增量 0 0 0 0( , ) ( , )( ) ,z f x x y y f x yA x B y o ?? ? ???? ? ? ?? ? ?(1) 0P 22 ,xy? ????其中 A,B是僅與點 有關(guān)的常數(shù) , ()o ??是 0P的高階無窮小量 , 則稱 f 在點 可微 . 并稱 (1) 式中關(guān)于 ,x y A x B y? ? ? ??的線性表達(dá)式返回 后頁 前頁 | |, | |xy?? dz由 (1), (2) 可見 ,當(dāng) 充分小時 , 全微分 ( , ) ( 0 , 0 ) ( , ) ( 0 , 0 )l i m l i m 0 .x y x y??? ? ? ??? ??這里 ,z A x B y x y??? ? ? ? ?? ? ? ?(4) 0 00d | d ( , ) .Pz f x y A x B y??? ? ?(2) 0fP在為 的 全微分 , 記作 z?可作為全增量 的近似值 , 于是有近似公式 : 在使用上 , 有時也把 (1) 式寫成如下形式： 0 0 0 0( , ) ( , ) ( ) ( ) .f x y f x y A x x B y y? ? ? ? ?(3) 返回 后頁 前頁 例 1 考察 00( , ) ( , ) .f x y x y x y? 在任一點 的可微性解 f 在 點 00( , )xy處的全增量為 0 0 0 0 0 0( , ) ( ) ( )f x y x x y y x y? ? ?? ? ? ?00 .y x x y x y? ? ? ?? ? ?由于 | | | | | | 0 ( 0 ) ,x y x y? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?00( ) . ( , ) ,x y o f x y???因此 從而 在 可微 且
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