可微性與偏導數(shù)(已修改)
2025-08-06 02:49 本頁面
【正文】 返回 后頁 前頁 167。 1 可微性與偏導數(shù) 本節(jié)首先討論二元函數(shù)的可微性 , 這是多元函數(shù)微分學最基本的概念 . 然后給出對單個自變量的變化率 , 即偏導數(shù) . 偏導數(shù)無論在理論上或在應用上都起著關鍵性的作用 . 四、 可微性的幾何意義及應用 返回一、 可微性與全微分 二、 偏導數(shù) 三、 可微性條件 返回 后頁 前頁 一、 可微性與全微分 定義 1 設函數(shù) 0( , ) ( )z f x y U P? 在某鄰域內(nèi)有定 0 0 0( , ) ( , ) ( ) ,P x y x x y y U P??? ? ? ?義 .對于 若 f 在 0P :z? 可表示為的全增量 0 0 0 0( , ) ( , )( ) ,z f x x y y f x yA x B y o ?? ? ???? ? ? ?? ? ?(1) 0P 22 ,xy? ????其中 A,B是僅與點 有關的常數(shù) , ()o ??是 0P的高階無窮小量 , 則稱 f 在點 可微 . 并稱 (1) 式中關于 ,x y A x B y? ? ? ??的線性表達式返回 后頁 前頁 | |, | |xy?? dz由 (1), (2) 可見 ,當 充分小時 , 全微分 ( , ) ( 0 , 0 ) ( , ) ( 0 , 0 )l i m l i m 0 .x y x y??? ? ? ??? ??這里 ,z A x B y x y??? ? ? ? ?? ? ? ?(4) 0 00d | d ( , ) .Pz f x y A x B y??? ? ?(2) 0fP在為 的 全微分 , 記作 z?可作為全增量 的近似值 , 于是有近似公式 : 在使用上 , 有時也把 (1) 式寫成如下形式： 0 0 0 0( , ) ( , ) ( ) ( ) .f x y f x y A x x B y y? ? ? ? ?(3) 返回 后頁 前頁 例 1 考察 00( , ) ( , ) .f x y x y x y? 在任一點 的可微性解 f 在 點 00( , )xy處的全增量為 0 0 0 0 0 0( , ) ( ) ( )f x y x x y y x y? ? ?? ? ? ?00 .y x x y x y? ? ? ?? ? ?由于 | | | | | | 0 ( 0 ) ,x y x y? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?00( ) . ( , ) ,x y o f x y???因此 從而 在 可微 且? y x x y????返回 后頁 前頁 二、偏導數(shù) 由一元函數(shù)微分學知道 : 若 0( ) ,f x x在 可微則 00( ) ( ) ( ) ,f x x f x A x o x? ? ? 其中? ? ? ?0( ) .A f x??( , )f x y 00( , )xy現(xiàn)在來討論 : 當二元函數(shù) 在點 可微 時 , (1) 式中的常數(shù) A, B 應取怎樣的值？ 為此在 (4) 式中先令 0 ( 0 ) ,y x f???? 這時得到 關x于 的偏增量為.xx zz A x x Ax?? ?? ? ? ?或? ? ? ?返回 后頁 前頁 0,xA?現(xiàn)讓 由上式便得 的一個極限表示式?0 0 0 000( , ) ( , )li m li m .xxxz f x x y f x yAxx?????????? (5) 容易看出 , (5) 式右邊的極限正是關于 x 的一元函數(shù) 00( , ) .f x y x x?在 處的導數(shù)類似地 , ( 4 ) 0 ( 0 ) ,xy??在 式中令 ??又可得到 0 0 0 000( , ) ( , )li m li m ,yyyz f x y y f x yByy??? ??????? (6) 它是關于 y 的一元函數(shù) 00( , ) .f x y y y?在 處的導數(shù)二元函數(shù)當固定其中一個自變量時 , 它對另一個自 返回 后頁 前頁 變量的導數(shù)稱為該函數(shù)的偏導數(shù) , 一般定義如下 : 0 .x 的某鄰域內(nèi)有定義 則當極限 存在時 , 稱此極限為 00( , )f x y在點 關于 x 的偏導數(shù) , 記作 0 0 0 000( , ) ( , )( , ) , , .xx y x yfzf x yxx????或0( , ) , ( , ) , ( , )z f x y x y D f x y設函數(shù) 且 在??定義 2 0 0 0 000( , ) ( , )li m li mxxxz f x x y f x yxx?????????(7) 返回 后頁 前頁 類似地可定義 00( , )f x y在點 關于 y 的偏導數(shù) : 0 0 0 000( , ) ( , )lim lim ,yyyz f x y y f x yyy??? ????????(7)?記作 0 0 0 000( , ) ( , )( , ) , , .yx y x yfzf x yyy????或注 1 ,xy????這里 是專用于偏導數(shù)的符號, 與一元dd x函數(shù)的導數(shù)符號 相仿, 但又有區(qū)別.返回 后頁 前頁 注 2 在上述定義中 , 00( , )f x y在點 存在對 x (或 y) , f的偏導數(shù) 此時 至少在? ?00( , ) , | |x y y y x x ?? ? ?? ?? ?00( , ) , | | .x y x x y y ?? ? ?或 上必須有定義顯然，在定義域的內(nèi)點處總能滿足這種要求，而在 界點處則往往無法考慮偏導數(shù)． ( , )z f x y? ( , )xy若函數(shù) 在區(qū)域 D 上每一點 都存在 對 x ( 或對 y ) 的偏導數(shù) , 則得到 ( , )z f x y? 在 D 上 對 x (或對 y) 的偏導函數(shù) (也簡稱偏導數(shù) ), 記作 返回 后頁 前頁 ( , ) ( , )( , )
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