數(shù)學分析17-1(可微性)(已修改)
2025-08-03 17:31 本頁面
【正文】 *二、全微分在數(shù)值計算中的應用 應用 一元函數(shù) y = f (x) 的微分 )( xoxAy ?????xxfy ??? )(d 近似計算 估計誤差 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 本節(jié)內(nèi)容 : 一 、全微分的定義 第一節(jié) 可微性 二 、偏導數(shù) 三 、可微性條件 一 、全微分的定義 定義 : 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點 ( x , y ) 可表示成 ,)( ?oyBxAz ??????其中 A , B 不依賴于 ? x , ? y , 僅與 x , y 有關(guān)， 稱為函數(shù) ),( yxf在點 (x, y) 的 全微分 , 記作 yBxAfz ????? dd若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點都可微 , 則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點 ( x, y) 可微 ， 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 處全增量 則稱此函數(shù) 在 D 內(nèi)可微 . (2) 偏導數(shù)連續(xù) ),(),( yxfyyxxfz ???????? ?)()(lim 0 ?? oyBxA ????? ?下面兩個定理給出了可微與偏導數(shù)的關(guān)系 : (1) 函數(shù)可微 函數(shù) z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微 ),(lim00yyxxfyx????????由微分定義 : 得 zyx?????00lim 0?),( yxf?函數(shù)在該點連續(xù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導數(shù)存在 函數(shù)可微 即 二、 偏導數(shù)定義及其計算法 引例 : 研究弦在點 x0 處的振動速度與加速度 , 就是 ),( txu0xo xu中的 x 固定于 求 一階導數(shù)與二階導數(shù) . x0 處 , ),( 0 txu關(guān)于 t 的 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 將振幅 定義 1. ),( yxfz ? 在點 存在 , xyxyxfz 對在點 ),(),( 00?的偏導數(shù)，記為 ),( 00 yx 的某鄰域內(nèi) 。),(00 yxxf??xx ??0 0x則稱此極限為函數(shù) 極限 設函數(shù) ?? )( 0xf )()( 00 xfxxf ???x?0lim??xx?。),( 00 yxxz0ddxxxy??.),( 001 yxf ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyxfyxxfx ???????),(),(lim 00000),( 00 yxf x注意 : 同樣可定義對 y 的偏導數(shù) lim0???y),( 00 yxf y若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點 ( x , y ) 處對 x 則該偏導數(shù)稱為偏導函數(shù) , 也簡稱為 偏導數(shù) , ),(,),( 2 yxfyxf y ?) ,( 0xf ),( 0xf?y?記為 yy ??0 0y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 或 y 偏導數(shù)存在 , , yzyfyz ????警告 各位 ！ 偏導數(shù)的符號 yx ???? ,不能像一元函數(shù)那樣將 是一個整體記號 ， z? 與 yx ?? , 的商。 yzxz???? , 看成是 若函數(shù) ),( yxf 在點 于變量 x 和 y 的偏導數(shù)均存在，則稱 在區(qū)域 ? 內(nèi)的任 ),
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