高等數(shù)學(xué)微積分課件--85高階偏導(dǎo)數(shù)(已修改)
2025-01-20 13:30 本頁(yè)面
【正文】 1 167。 ? 一、多元函數(shù)的極值與最值 ? 二、條件極值 ? 三、最小二乘法 * 2 二元函數(shù)極值的定義 ? 設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于 (x0,y0)的點(diǎn) (x,y) ：若滿足不等式 f(x,y)f(x0,y0),則稱函數(shù)在 (x0,y0)有極大值 。若滿足不等式 f(x,y)f(x0,y0) ,則稱函數(shù)在 (x0,y0)有極小值。 ? 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值 . ? 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn) 3 二元函數(shù)極值示例 ? 示例 1. 處有極小值．在 )0,0(43 22 yxz ?? (1) ? 示例 2. 處有極大值．在 )0,0(22 yxz ??? (2) ? 示例 3. 處無(wú)極值．在 )0,0(xyz ? (3) 4 多元函數(shù)取極值的必要條件 ? 定理 (必要條件 ): 設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0) 偏導(dǎo)數(shù)都存在 ,若其在點(diǎn) (x0,y0)處有極值 ,則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零： 0),( 0039。 ?yxf x 0),( 0039。 ?yxf y不妨設(shè) ),( yxfz ? 在點(diǎn) ),( 00 yx 處有極大值 , 則對(duì)于 ),( 00 yx 的某鄰域內(nèi)任意 ?),( yx ),( 00 yx 都有 ?),( yxf ),( 00 yxf ,? 證 : 故當(dāng) 0yy ? ， 0xx ? 時(shí) ， 有 ?),( 0yxf ),( 00 yxf ,說(shuō)明一元函數(shù) ),( 0yxf 在 0xx ? 處有極大值 ,必有 0),( 00 ?yxf x 。 類似地可證 0),( 00 ?yxf y .? 證 :同樣地 ,多元函數(shù)都有類似性質(zhì)。 5 駐點(diǎn)與極值點(diǎn) ? 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù) 同時(shí) 為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn) . 例如 , 點(diǎn) )0,0( 是函數(shù) xyz ? 的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn) .駐點(diǎn) 極值點(diǎn) 問(wèn)題： 如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？ 注意： 6 多元函數(shù)取極值的充分條件 ? 定理 (充分條件 ): 設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)、存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,且 0),( 0039。 ?yxf x 0),( 0039。 ?yxf y記 Ayxf xx ?),( 00 Byxf xy ?),( 00 Cyxf yy ?),( 00則 f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0)處取得極值的條件如下： （ 1） 02 ???? ACB 時(shí)具有極值 , 02 ???? ACB（ 3） 02 ???? ACB當(dāng) A0時(shí)有極大值 ,當(dāng) A0時(shí)有極小值 。 （ 2） 時(shí)沒(méi)有極值 。 不能確定 ,還需另作討論。 7 多元函數(shù)求極值的一般步驟 ? 第一步：解方程組 ,0),(39。 ?yxf x 0),(39。 ?yxfy求出實(shí)數(shù)解 ,得駐點(diǎn) 。 ? 第二步：計(jì)算二階偏導(dǎo) ),( yxfy xxxx ??? ),( yxfy xyxy ??? ),( yxfy yyyy ???? 第三步：對(duì)每個(gè)駐點(diǎn) ,分別計(jì)算 A、 B、 C。 ? 第四步：對(duì)每個(gè)駐點(diǎn) ,確定 ?=B2AC以及 A或 C 的符號(hào) ,再判斷是否有極值。 8 例題與講解 ? 例 : 求函數(shù) z=(2axx2)(2byy2)的極值 ,其中 a,b為非零常數(shù)。 ? 解：由極值必要條件： 0)2)((2 2 ????? ybyxaz x0))(2(2 2 ????? ybxaxz y可解得駐點(diǎn)： (a,b),(0,0),(0,2b),(2a,0),(2a,2b) 因?yàn)椋? ),2(2 2ybyz xx ????? ),)((4 ybxaz xy ????? )2(2 2xaxz yy ?????對(duì)駐點(diǎn) (a,b),有 04,02,0,022222 ??????????? baaCBbA由充分條件知 ,點(diǎn) (a,b)為極大值點(diǎn) ,極大值為 z(a,b)=a2b2 對(duì)駐點(diǎn) (0,0),有 016,4,022 ?????? baabBCA故 ,點(diǎn) (0,0)不是極值點(diǎn)。 類似可驗(yàn)證 ,點(diǎn) (0,2b),(2a,0),(2a,2b)都不是極值點(diǎn)。 9 課堂練習(xí) ? 385頁(yè) 16.（ 2） 10 例題與講解 * ? 例：求由方程 x2+y2+z22x+2y4z10=0確定的隱函數(shù) z=f(x,y)的極值。 將方程兩邊分別對(duì) yx , 求偏導(dǎo)?????????????????0422204222yyxxzzzyzzzx由函數(shù)取極值的必要條件知 ,駐點(diǎn)為 )1,1( ?P ,將上方程組再分別對(duì) yx , 求偏導(dǎo)數(shù) ,? 解： ,
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