【正文】 不定積分內(nèi)容概要名稱(chēng)主要內(nèi)容不定積分不定積分的概念設(shè)， ，若存在函數(shù)，使得對(duì)任意均有 或，則稱(chēng)為的一個(gè)原函數(shù)。的全部原函數(shù)稱(chēng)為在區(qū)間上的不定積分，記為注：（1）若連續(xù)，則必可積；（2）若均為的原函數(shù)，則。故不定積分的表達(dá)式不唯一。性質(zhì)性質(zhì)1：或；性質(zhì)2：或；性質(zhì)3：，為非零常數(shù)。計(jì)算方法第一換元積分法（湊微分法）設(shè)的 原函數(shù)為，可導(dǎo)，則有換元公式：第二類(lèi)換元積分法設(shè)單調(diào)、可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零，有原函數(shù)，則 分部積分法有理函數(shù)積分若有理函數(shù)為假分式，則先將其變?yōu)槎囗?xiàng)式和真分式的和；對(duì)真分式的處理按情況確定。本章的地位與作用在下一章定積分中由微積分基本公式可知求定積分的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是求被積函數(shù)的原函數(shù)問(wèn)題；后繼課程無(wú)論是二重積分、三重積分、曲線積分還是曲面積分，最終的解決都?xì)w結(jié)為對(duì)定積分的求解；而求解微分方程更是直接歸結(jié)為求不定積分。從這種意義上講，不定積分在整個(gè)積分學(xué)理論中起到了根基的作用，積分的問(wèn)題會(huì)不會(huì)求解及求解的快慢程度，幾乎完全取決于對(duì)這一章掌握的好壞。這一點(diǎn)隨著學(xué)習(xí)的深入，同學(xué)們會(huì)慢慢體會(huì)到！ 課后習(xí)題全解習(xí)題41：知識(shí)點(diǎn)：直接積分法的練習(xí)——求不定積分的基本方法。思路分析：利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本積分公式，直接求出不定積分！★(1)思路: 被積函數(shù) ，由積分表中的公式（2）可解。解：★(2)思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。 解：★(3)思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。解：★(4)思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。解：★★(5)思路:觀察到后，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項(xiàng)，分別積分。解：★★(6)思路:注意到，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項(xiàng)，分別積分。解：注：容易看出(5)(6)兩題的解題思路是一致的。一般地，如果被積函數(shù)為一個(gè)有理的假分式，通常先將其分解為一個(gè)整式加上或減去一個(gè)真分式的形式，再分項(xiàng)積分?！?7)思路:分項(xiàng)積分。解：★(8)思路:分項(xiàng)積分。解：★★(9)思路:？看到，直接積分。解：★★(10)思路:裂項(xiàng)分項(xiàng)積分。解：★(11)解：★★(12)思路:初中數(shù)學(xué)中有同底數(shù)冪的乘法： 指數(shù)不變，底數(shù)相乘。顯然。解：★★(13)思路:應(yīng)用三角恒等式“”。解：★★(14)思路:被積函數(shù) ，積分沒(méi)困難。解：★★(15)思路:若被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶次方時(shí)，一般地先降冪，再積分。解：★★(16)思路:應(yīng)用弦函數(shù)的升降冪公式，先升冪再積分。解：★(17)思路:不難，關(guān)鍵知道“”。解：★(18)思路:同上題方法，應(yīng)用“”，分項(xiàng)積分。解：★★(19)思路:注意到被積函數(shù) ，應(yīng)用公式(5)即可。解：★★(20)思路:注意到被積函數(shù) ，則積分易得。解：★設(shè)，求。知識(shí)點(diǎn)：考查不定積分（原函數(shù)）與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：直接利用不定積分的性質(zhì)1：即可。解：等式兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)得：★設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，求的原函數(shù)全體。知識(shí)點(diǎn)：仍為考查不定積分（原函數(shù)）與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：連續(xù)兩次求不定積分即可。解：由題意可知，所以的原函數(shù)全體為：?！镒C明函數(shù)和都是的原函數(shù)知識(shí)點(diǎn)：考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：只需驗(yàn)證即可。解：，而★一曲線通過(guò)點(diǎn)，且在任意點(diǎn)處的切線的斜率都等于該點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求此曲線的方程。知識(shí)點(diǎn)：屬于第12章最簡(jiǎn)單的一階線性微分方程的初值問(wèn)題，實(shí)質(zhì)仍為考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得曲線方程的一般式，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)帶入方程確定具體的方程即可。解：設(shè)曲線方程為，由題意可知：，；又點(diǎn)在曲線上，適合方程，有，所以曲線的方程為★★一物體由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)秒后的速度是，問(wèn)：（1） 在秒后物體離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)的距離是多少？（2） 物體走完米需要多少時(shí)間？知識(shí)點(diǎn)：屬于最簡(jiǎn)單的一階線性微分方程的初值問(wèn)題，實(shí)質(zhì)仍為考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得物體的位移方程的一般式，然后將條件帶入方程即可。解：設(shè)物體的位移方程為：，則由速度和位移的關(guān)系可得：，又因?yàn)槲矬w是由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的。(1) 秒后物體離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)的距離為:米；(2)令秒。習(xí)題42★填空是下列等式成立。知識(shí)點(diǎn)：練習(xí)簡(jiǎn)單的湊微分。思路分析：根據(jù)微分運(yùn)算湊齊系數(shù)即可。解：求下列不定積分。知識(shí)點(diǎn)：（湊微分）第一換元積分法的練習(xí)。思路分析：審題看看是否需要湊微分。直白的講，湊微分其實(shí)就是看看積分表達(dá)式中，有沒(méi)有成塊的形式作為一個(gè)整體變量，這種能夠馬上觀察出來(lái)的功夫來(lái)自對(duì)微積分基本公式的熟練掌握。此外第二類(lèi)換元法中的倒代換法對(duì)特定的題目也非常有效，這在課外例題中專(zhuān)門(mén)介紹！★（1）思路:湊微分。解：★(2)思路:湊微分。解：★(3)思路:湊微分。解：★(4)思路:湊微分。解：★(5)思路:湊微分。解：★★(6)思路:如果你能看到，湊出易解。解：★(7)思路:湊微分。解：★★(8)思路:連續(xù)三次應(yīng)用公式(3)湊微分即可。解：★★(9)思路:本題關(guān)鍵是能夠看到 是什么，是什么呢？就