【正文】 )( baxda d x ??)(21 2xdx dx ?)( xx eddxe ?)( s i nc o s xdxdx ?)c o s(s i n xdxdx ??)(l n1xddxx?)(21xddxx?)(ar c tan112 xddxx ??)(ar c s i n112xddxx?? 常用微分公式 例 2. 求 ???? xxxxx d)1(122解 : ?? ??? xxxx d1 d 2Cxx ??? ||lna rct a n? ??? xxx xx d)1(1 22例 3. 求 解 : ? xx dta n 2xx d)1(s e c 2? ??Cxx ??? t an? xx dta n 2?? ?? xxx dds e c 2例 4. 求 其中,d)(? xxf f (x)= x2+1, x0. 1 ,1 ?xx10 ,1 ?? x解 : 作函數(shù)，待定和原函數(shù)內(nèi)分別有和在),(ln,3],1[]1,0[),0,()(21213CCCxCxxxxf???????F(x)= 0 ,33?? xxx1 ln 2 ?? xCx10 1 ??? xCx而要使 F(x)成為 f (x)在 R上的原函數(shù)，必須F(x)連續(xù)，從而 C1＝ 0， C2＝ 1，因此滿足條件的函數(shù)為 F(x)= 0 ,33?? xxx.1 1ln ?? xx10 , ?? xx故 CxFxxf ??? )(d)( ( 4) ? a x dx ? aaxln ? C ， (6 ) ? c o s x dx ? s i n x ? C ， dx2se c? ? t g x ? C ， 例 6 ? ( e x ? 3c o s x ) dx ? e x ? 3s i n x ? C 。 例 9 ? s i n 2 2x dx dxx )co s1(21 ?? ? Cxx ??? )si n(21 。 例 9 ? s i n 22x dx dxx )co s1(21 ?? ? Cxx ??? )si n(21 。 例 10 ? dxxx2c o s2si n122?? dxx2s i n14 ? ? 4 c t g x ? C 。 例 10 ? dxxx2c o s2si n122?? dxxs i n14 ? ? 4 c t g x ? C 。 例 6 ? ( e x ? 3c o s x ) dx ? e x ? 3s i n x ? C 。 例 5． 例 9 ? s i n 2 2x dx dxx )co s1(21 ?? ? Cxx ??? )si n(21 。 例 6． 例 10 ? dxx2c o ssi n122?? dxx2s i n14 ? ? 4 c t g x ? C 。 例 7． ( 3) ? x1 dx ? l n |x |? C ， ( 1 1) ? 21 1 x? dx ? a r c t g x ? C 。 ????? dxxx )111(2231? x 3 ? x ? a r c t g x ? C 。 例 12 ??dxxx241 ? ???? dxxx24111 ?????? dxxxx22211)1)(1( 例 12 ??dxxx241 ? ???? dxxx24111 ?????? dxxxx22211)1)(1( ????? dxxx )111(2231? x 3 ? x ? a r c t g x ? C 。 例 12 ??dxxx241 ? ???? dxx24111 ?????? dxxxx22211)1)(1( 例 8． y ? ? )257(x? dx xx 507 ?? ? C 。 解： 因?yàn)榭偝杀臼强偝杀咀兓?y?的原函數(shù)，所以 已知當(dāng) x?0 時(shí)， y?1000， 例 9． 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品 ， 每日生產(chǎn)的產(chǎn)品的總成 本 y 的 變化率 是日產(chǎn)量 x 的函數(shù) y ?x257 ?? ，已知固定 ?成本為 1000元，求總成本與日產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系。 因此有 C =1000， 作業(yè)： P137： 5 (2)（ 5) (10) (15). 于是 總成本 y 與日產(chǎn)量 x 的函數(shù) 為 y xx 507 ?? ? 1000 。 例 2. ? ? xxe x d12求解： 觀察 12 ?xxe 中間變量 u=x2+1 但 u=x2+1的導(dǎo)數(shù)為 u? = 2x 在被積函數(shù)中添加 2個(gè)因子 12 221 ?xex39。u u 因此 Cexxe xx ?? ??? 11 2221d例 3. ? ? xxx d543求解 : ? ? xxx d 5 34Cu ????? 1211211415 4 ?? xu ? udu 41 21Cx ??? 234 )5(61u u du ? ?? xxx d4 541 34? xxxf d)(39。))(( ?? ? uuf d)(u=?(x) xu dd ???例 4. )0(d22 ??? axax求解： 能想出原函數(shù)的形式嗎？ Cxxx ???? a r cs i n1 d 2記得這個(gè)公式嗎？如何用這個(gè)公式？ ????? 22 )(1d)(1daxaxaxaxCax ?? ar cs i n例 5. 求 解： ?? ?? xxxx d2 2cos1ds i n 2?? ?? xxx d2co s21d21??? )2(d2cos4121 xxxCxx ??? 2s i n41212sin d .xx?例 6 解： ? ? 22d xa x求? ???? xxaxaa d)11(21? ? 22d xa x?????? ?????? ?? xa xaxa xaa )(d)(d2 1? ? Cxaxaa ????? ||ln||ln2 1Cxa xaa ???? ln21例 7 求 .dxx? ? 23 1解 ,)( ??????? xxx 2323 12123 1dxx? ? 23 1 dxxx )( ????? ? 2323 121duu? 121 Cu ?? ln21.)l n ( Cx ??? 2321xu 23 ??例 8 求 .)ln51(1 dxxx? ?解 dxxx? ? )ln51( 1 )(l nln511 xdx? ??)ln51(ln51 151 xdx ??? ?xu ln21 ?? ?? duu151Cu ?? ln51熟練以后就不需要進(jìn)行 )( xu ?? 轉(zhuǎn)化了 Cx ??? )ln51l n (51例 9 求 .)(dxxx?? 21解 dxxx? ? 21 )()(])()([ xdxx ????? ? 11 11 1 221 111 CxCx ?????? )()l n (dxxx? ? ??? 21 11 )(Cxx ????? )()l n ( 1 11例 11 求 解 dxx? 3s inCxxxdxxdxxdxx???????????)c o s( c o sc o s)c o s(s i ns i ns i n3223311正弦余弦三角函數(shù)積分偶次冪降冪 ,齊次冪拆開 放在微分號(hào) ??? dxex11 dxeedxee xxxx ?? ??? ??? 1)1( 1xxxxdeexdee ?????? ??????? 1 1)(1)1(1 1 xxede ?????? ?.)1l n ( Ce x ???? ? 解 例 12 求 .1 1 dxe x? ?例 13 求 x dxx? 35 s e cta nx d xx? 35 s e ct a n 解xd xxxx ta ns e cs e cta n?? 24xxdx s e cs e c)( s e c 222 1?? ?xdxxx s e c)s e cs e c( s e c 246 2 ??? ?Cxxx ???? 357 315271 s e cs e cs e c例 14 求 解 .co s1 1? ? dxx? ? dxxco s1 1? ??? dxxx2co s1 co s1 ? ?? dxx x2si nco s1?? ?? )( si nsi n 1si n 1 22 xdxdxx.si n1co t Cxx ????例 15 求 解 .c o ssi n 52? ? xdxx? ? xdxx 52 c o ssi n? ??? )( si n)si n1(si n 222 xdxx? ??? )( si n)si nsi n2( si n 642 xdxxx.si n71si n52si n31 753 Cxxx ????說明 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分 . ? ?? )( s i nc o ss i n xxdx 42例 16 求 解 .2c