【正文】 6 001 . 0 8 ( , )f x x y y??? ? ?( 1 , 4 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 4 )xyf f x f y??? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 41 4 0 . 0 8 1 l n 1 ( 0 . 0 4) 1 . 3 2 .? ? ? ? ? ? ? ?例 8 1 s in2S a b C應(yīng)用公式 計(jì)算某三角形的面積,?1 2 . 5 0 , 8 . 3 0 , 3 0 . ,a b C a b現(xiàn)測(cè)得 若測(cè)量 的誤? ? ?0 . 0 1 , 0 . 1 ,C差為 測(cè)量 的誤差為 試求用此公式??計(jì)算三角形面積時(shí) 的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限 . 解 依題意，測(cè)量 a, b, C 的絕對(duì)誤差限分別為 | | 0 . 0 1 , | | 0 . 0 1 , | | 0 . 1 .1800a b C ?? ? ?? ? ? ?由于 返回 后頁(yè) 前頁(yè) | | | d || | | | | |S S SS S a b Ca b CS S Sa b Ca b C? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?因此將各數(shù)據(jù)代入上式 , 即得 S 的絕對(duì)誤差限為 | | 0 . 1 3 .S? ?11| sin | | | | sin | | |221| c os | | |,2b C a a C bab C C???? ? ? ???返回 后頁(yè) 前頁(yè) 1 1 1s in 1 2 . 5 0 8 . 3 0 2 5 . 9 4 ,2 2 2S a b C? ? ? ? ? ?0 .1 3 0 . 5 % .2 5 .9 4SS? ??又因 所以 S 的相對(duì)誤差限為 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 復(fù)習(xí)思考題 1. 已知函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)的存在性、可微性和 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性之間有如下關(guān)系 : 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 可 微 連 續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 試舉出能分別滿足如下要求的函數(shù) ( , ) :f x y(i) ( 0 , 0 ) , 。 1 可微性與偏導(dǎo)數(shù) 本節(jié)首先討論二元函數(shù)的可微性 , 這是多元函數(shù)微分學(xué)最基本的概念 . 然后給出對(duì)單個(gè)自變量的變化率 , 即偏導(dǎo)數(shù) . 偏導(dǎo)數(shù)無(wú)論在理論上或在應(yīng)用上都起著關(guān)鍵性的作用 . 四、 可微性的幾何意義及應(yīng)用 返回一、 可微性與全微分 二、 偏導(dǎo)數(shù) 三、 可微性條件 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 一、 可微性與全微分 定義 1 設(shè)函數(shù) 0( , ) ( )z f x y U P? 在某鄰域內(nèi)有定 0 0 0( , ) ( , ) ( ) ,P x y x x y y U P??? ? ? ?義 .對(duì)于 若 f 在 0P :z? 可表示為的全增量 0 0 0 0( , ) ( , )( ) ,z f x x y y f x yA x B y o ?? ? ???? ? ? ?? ? ?(1) 0P 22 ,xy? ????其中 A,B是僅與點(diǎn) 有關(guān)的常數(shù) , ()o ??是 0P的高階無(wú)窮小量 , 則稱 f 在點(diǎn) 可微 . 并稱 (1) 式中關(guān)于 ,x y A x B y? ? ? ??的線性表達(dá)式返回 后頁(yè) 前頁(yè) | |, | |xy?? dz由 (1), (2) 可見 ,當(dāng) 充分小時(shí) , 全微分 ( , ) ( 0 , 0 ) ( , ) ( 0 , 0 )l i m l i m 0 .x y x y??? ? ? ??? ??這里 ,z A x B y x y??? ? ? ? ?? ? ? ?(4) 0 00d | d ( , ) .Pz f x y A x B y??? ? ?(2) 0fP在為 的 全微分 , 記作 z?可作為全增量 的近似值 , 于是有近似公式 : 在使用上 , 有時(shí)也把 (1) 式寫成如下形式： 0 0 0 0( , ) ( , ) ( ) ( ) .f x y f x y A x x B y y? ? ? ? ?(3) 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 1 考察 00( , ) ( , ) .f x y x y x y? 在任一點(diǎn) 的可微性解 f 在 點(diǎn) 00( , )xy處的全增量為 0 0 0 0 0 0( , ) ( ) ( )f x y x x y y x y? ? ?? ? ? ?00 .y x x y x y? ? ? ?? ? ?由于 | | | | | | 0 ( 0 ) ,x y x y? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?00( ) . ( , ) ,x y o f x y???因此 從而 在 可微 且? y x x y????返回 后頁(yè) 前頁(yè) 二、偏導(dǎo)數(shù) 由一元函數(shù)微分學(xué)知道 : 若 0( ) ,f x x在 可微則 00( ) ( ) ( ) ,f x x f x A x o x? ? ? 其中? ? ? ?0( ) .A f x??( , )f x y 00( , )xy現(xiàn)在來(lái)討論 : 當(dāng)二元函數(shù) 在點(diǎn) 可微 時(shí) , (1) 式中的常數(shù) A, B 應(yīng)取怎樣的值？ 為此在 (4) 式中先令 0 ( 0 ) ,y x f???? 這時(shí)得到 關(guān)x于 的偏增量為.xx zz A x x Ax?? ?? ? ? ?或? ? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 0,xA?現(xiàn)讓 由上式便得 的一個(gè)極限表示式?0 0 0 000( , ) ( , )li m li m .xxxz f x x y f x yAxx?????????? (5) 容易看出 , (5) 式右邊的極限正是關(guān)于 x 的一元函數(shù) 00( , ) .f x y x x?在 處的導(dǎo)數(shù)類似地 , ( 4 ) 0 ( 0 ) ,xy??在 式中令 ??又可得到 0 0 0 000( , ) ( , )li m li m ,yyyz f x y y f x yByy??? ??????? (6) 它是關(guān)于 y 的一元函數(shù) 0