可微性與偏導(dǎo)數(shù)-展示頁
2025-08-03 02:49本頁面
【正文】 ( , ) ( 0 , 0 ) ( , ) ( 0 , 0 )l i m l i m 0 .x y x y??? ? ? ??? ??這里 ,z A x B y x y??? ? ? ? ?? ? ? ?(4) 0 00d | d ( , ) .Pz f x y A x B y??? ? ?(2) 0fP在為 的 全微分 , 記作 z?可作為全增量 的近似值 , 于是有近似公式 : 在使用上 , 有時(shí)也把 (1) 式寫成如下形式： 0 0 0 0( , ) ( , ) ( ) ( ) .f x y f x y A x x B y y? ? ? ? ?(3) 返回 后頁 前頁 例 1 考察 00( , ) ( , ) .f x y x y x y? 在任一點(diǎn) 的可微性解 f 在 點(diǎn) 00( , )xy處的全增量為 0 0 0 0 0 0( , ) ( ) ( )f x y x x y y x y? ? ?? ? ? ?00 .y x x y x y? ? ? ?? ? ?由于 | | | | | | 0 ( 0 ) ,x y x y? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?00( ) . ( , ) ,x y o f x y???因此 從而 在 可微 且? y x x y????返回 后頁 前頁 二、偏導(dǎo)數(shù) 由一元函數(shù)微分學(xué)知道 : 若 0( ) ,f x x在 可微則 00( ) ( ) ( ) ,f x x f x A x o x? ? ? 其中? ? ? ?0( ) .A f x??( , )f x y 00( , )xy現(xiàn)在來討論 : 當(dāng)二元函數(shù) 在點(diǎn) 可微 時(shí) , (1) 式中的常數(shù) A, B 應(yīng)取怎樣的值？ 為此在 (4) 式中先令 0 ( 0 ) ,y x f???? 這時(shí)得到 關(guān)x于 的偏增量為.xx zz A x x Ax?? ?? ? ? ?或? ? ? ?返回 后頁 前頁 0,xA?現(xiàn)讓 由上式便得 的一個(gè)極限表示式?0 0 0 000( , ) ( , )li m li m .xxxz f x x y f x yAxx?????????? (5) 容易看出 , (5) 式右邊的極限正是關(guān)于 x 的一元函數(shù) 00( , ) .f x y x x?在 處的導(dǎo)數(shù)類似地 , ( 4 ) 0 ( 0 ) ,xy??在 式中令 ??又可得到 0 0 0 000( , ) ( , )li m li m ,yyyz f x y y f x yByy??? ??????? (6) 它是關(guān)于 y 的一元函數(shù) 00( , ) .f x y y y?在 處的導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)當(dāng)固定其中一個(gè)自變量時(shí) , 它對(duì)另一個(gè)自 返回 后頁 前頁 變量的導(dǎo)數(shù)稱為該函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) , 一般定義如下 : 0 .x 的某鄰域內(nèi)有定義 則當(dāng)極限 存在時(shí) , 稱此極限為 00( , )f x y在點(diǎn) 關(guān)于 x 的偏導(dǎo)數(shù) , 記作 0 0 0 000( , ) ( , )( , ) , , .xx y x yfzf x yxx????或0( , ) , ( , ) , ( , )z f x y x y D f x y設(shè)函數(shù) 且 在??定義 2 0 0 0 000( , ) ( , )li m li mxxxz f x x y f x yxx?????????(7) 返回 后頁 前頁 類似地可定義 00( , )f x y在點(diǎn) 關(guān)于 y 的偏導(dǎo)數(shù) : 0 0 0 000( , ) ( , )lim lim ,yyyz f x y y f x yyy??? ????????(7)?記作 0 0 0 000( , ) ( , )( , ) , , .yx y x yfzf x yyy????或注 1 ,xy????這里 是專用于偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào), 與一元dd x函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào) 相仿, 但又有區(qū)別.返回 后頁 前頁 注 2 在上述定義中 , 00( , )f x y在點(diǎn) 存在對(duì) x (或 y) , f的偏導(dǎo)數(shù) 此時(shí) 至少在? ?00( , ) , | |x y y y x x ?? ? ?? ?? ?00( , ) , | | .x y x x y y ?? ? ?或 上必須有定義顯然，在定義域的內(nèi)點(diǎn)處總能滿足這種要求，而在 界點(diǎn)處則往往無法考慮偏導(dǎo)數(shù)． ( , )z f x y? ( , )xy若函數(shù) 在區(qū)域 D 上每一點(diǎn) 都存在 對(duì) x ( 或?qū)?y ) 的偏導(dǎo)數(shù) , 則得到 ( , )z f x y? 在 D 上 對(duì) x (或?qū)?y) 的偏導(dǎo)函數(shù) (也簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù) ), 記作 返回 后頁 前頁 ( , ) ( , )( , ) ( , ) ,xyf x y f x yf x y f x yxy??????????或或, , , , .x x y yfff z f zxy????????也可簡(jiǎn)單地寫作 或 或偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 : ( , )z f x y? 的幾何圖象通常是 三維空間中的曲面 , 設(shè) 0 0 0 0( , , )P x y z為此曲面上一 0 0 0( , ) .z f x y? 00 ,P y y?過點(diǎn) 作平面 它與點(diǎn) , 其中 曲面相交得一曲線： 0: , ( , ) .C y y z f x y??返回 后頁 前頁 如圖 171 所示，偏導(dǎo)數(shù) 00( , )xf x y的幾何意義為 : 在平面 0yy? 上 , 曲線 C 在點(diǎn) P0 處的切線與 x 軸 ? 00( , ) t a n .xf x y ??正向所成傾角 的正切，即 ?x yzO0P 圖 171 0y( , )z f x y?C?返回 后頁 前頁 可同樣討論偏導(dǎo)數(shù) 00( , )yf x y的幾何意義 (請(qǐng)讀者自 行敘述 )． 由偏導(dǎo)數(shù)的定義還知道 , 多元函數(shù) f 對(duì)某一個(gè)自變 量求偏導(dǎo)數(shù) , 是先把別的自變量看作常數(shù) , 變成一 元函數(shù)的求導(dǎo) . 因此
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