可微性與偏導(dǎo)數(shù)(參考版)
2025-07-28 02:49本頁(yè)面
【正文】 在點(diǎn) 處連續(xù) 存在偏導(dǎo)數(shù), 但不可微(iv) ( 0 , 0 ) .在點(diǎn) 處可微, 但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)2. 可微性定義中 , (1) 式與 (4) 式為何是等價(jià)的 ? 。在點(diǎn) 處連續(xù) 但不存在偏導(dǎo)數(shù)(ii) ( 0 , 0 ) , 。 1中 , 我們?cè)哑矫媲€ S 在其上某一 00( , )P x y點(diǎn) 的切線 PT 定義為過(guò)點(diǎn) P 的割線 PQ 當(dāng) Q 沿 S 趨近 P 時(shí)的極限位置 (如果存在的話 ). 這時(shí) , 返回 后頁(yè) 前頁(yè) PQ 與 PT 的夾角 也將隨 Q → P 而趨于零 (參見(jiàn) ?圖 172). 用 h 和 d 分別表示點(diǎn) Q 到直線 PT 的距離 和點(diǎn) Q 到點(diǎn) P 的距離 , 由于 ?PT?Sdh圖 17 2 Qsi n ,? ?hdQ S P因此當(dāng) 沿 趨于 時(shí), ?0? ? 等同于返回 后頁(yè) 前頁(yè) 定義 3 設(shè)曲面 S 上一 一個(gè) 平面 , S 上的動(dòng)點(diǎn) 仿照這個(gè)想法 , 我們引 進(jìn)曲面 S 在點(diǎn) P 的切平 面的定義 (參見(jiàn)圖 173). ??PQhdx yzOS?圖 17 3 點(diǎn) P, Π 為通過(guò)點(diǎn) P 的 Q 到定點(diǎn) P 和到平面 Π 的距離分別記為 d 和 h. 若 當(dāng) Q 在 S 上以任 意方式趨近于 P 時(shí) , 恒有 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ? 0,hd 則稱 Π 為曲 面 S 在點(diǎn) P 的 切平面 , 稱 P 為 切點(diǎn) . 定理 曲面 0 0 0 0( , ) ( , , ( , ) )z f x y P x y f x y? 在點(diǎn)存在不平行于 z 軸的切平面的充要條件是 : 函數(shù) f在點(diǎn) 0 0 0( , )P x y可微 . 證 (充分性 ) 若函數(shù) f 在 P0 可微 , 由定義知道 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ,xyz z f x y x x f x y y y o ?? ? ? ? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 討論過(guò)點(diǎn) 0 0 0 0( , , ( , ) )P x y f x y的平面 Π: 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( ) ( , ) ( ) ,xyZ z f x y X x f x y Y y? ? ? ? ?其中 X, Y, Z 是平面上點(diǎn)的流動(dòng)坐標(biāo) . 下面證明它就 是曲面 ( , )z f x y P? 在點(diǎn)的切平面 . ( , , )Q x y z?由于 S 上動(dòng)點(diǎn) 到 的距離為 0 0 0 0 0 0 0220 0 0 0| ( , ) ( ) ( , ) ( ) |1 ( , ) ( , )xyxyz z f x y x x f x y y yhf x y f x y? ? ? ? ????220 0 0 00( , ) , .( ) ( )z f x y x x y y??? ? ? ?其中 現(xiàn)在 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 220 0 0 0| ( ) | ,1 ( , ) ( , )xyof x y f x y????0 0 02 2 2( ) ( ) ( ) ,d x x y y z z ?? ? ? ? ? ? ?00hd ???因此, 由 ，并當(dāng) 時(shí)有220 0 0 0| ( ) | 10,1 ( , ) ( , )xyh h od f x y f x y???? ? ? ???P 到 Q 的距離為 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ? ( , )z f x y? 在點(diǎn)根據(jù)定義 3 便知 平面 即為曲面 P 的切平面． ? ( , )z f x y P? 在點(diǎn)(必要性 ) 若曲面 存在不平行于 z 軸的切平面 0 0 0( ) ( ) .Z z A X x B Y y? ? ? ? ?第一步 設(shè) Q(x, y, z) 是曲面上任意一點(diǎn) , 由 Q 到這 個(gè)平面的距離為 0 0 022| ( ) ( ) | .1z z A x x B y yhAB? ? ? ? ????返回 后頁(yè) 前頁(yè) QP? ? , 當(dāng) 時(shí) , 有 因 此對(duì)于充分接近的 P 與 Q, 有 2 2 2 2| | 1 ,1 2 1h z A x B yd d A B A B? ? ?????? ? ? ?由此則得 221| | .22dz A x B y z?? ? ? ?? ? ? ? ?0 0 02 2 2 2 2, , ,.x x x y y y z z zx y d x y z?? ? ?? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?令 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ( ) ( ) .z A x B y o ?? ? ?? ? ?| ( ) |r at i o z A x B y?? ? ? ? ?由于 ＝＝ def2222|| 11z A x B y d ABd AB ???? ? ? ? ?? ? ? ????????221,hd ABd ?????? ? ? ? ??? ???? ??f 0 0 0( , )P x y第二步 分析 : 要證明 在點(diǎn) 可微 , 事實(shí) 上就是需證 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 因此 , 若能證得當(dāng) d??充分小時(shí)， 為一有界量，則有 0l i m r a t i o = 0 .? ?|| :z?? 是有界量 | | | | | |a b a b? ? ?由第三步 先證 可推得 2211| | | || | | || | ( | | ) ,22z A x B y z z??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?故有 11| | | | | | | | | | ,22z
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