拋物線典型例題12例(含標(biāo)準(zhǔn)答案解析)-文庫吧資料
2025-06-30 21:23本頁面
【正文】 拋物線方程為．如圖所示，只須證明，則以AB為直徑的圓，必與拋物線準(zhǔn)線相切．證明：作于于．M為AB中點(diǎn)，作于，則由拋物線的定義可知：在直角梯形中：，故以AB為直徑的圓，必與拋物線的準(zhǔn)線相切．說明：類似有：以橢圓焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相對應(yīng)的準(zhǔn)線相離，以雙曲線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)的準(zhǔn)線相交．典型例題四例4（1）設(shè)拋物線被直線截得的弦長為，求k值．（2）以（1）中的弦為底邊，以x軸上的點(diǎn)P為頂點(diǎn)作三角形，當(dāng)三角形的面積為9時，求P點(diǎn)坐標(biāo)．分析：（1）題可利用弦長公式求k，（2）題可利用面積求高，再用點(diǎn)到直線距離求P點(diǎn)坐標(biāo)．解：（1）由得：設(shè)直線與拋物線交于與兩點(diǎn)．則有： ，即（2），底邊長為，∴三角形高∵點(diǎn)P在x軸上，∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是則點(diǎn)P到直線的距離就等于h，即或，即所求P點(diǎn)坐標(biāo)是（－1，0）或（5，0）．典型例題五例5 已知定直線l及定點(diǎn)A（A不在l上），n為過A且垂直于l的直線，設(shè)N為l上任一點(diǎn)，AN的垂直平分線交n于B，點(diǎn)B關(guān)于AN的對稱點(diǎn)為P，求證P的軌跡為拋物線．分析：要證P的軌跡為拋物線，有兩個途徑，一個證明P點(diǎn)的軌跡符合拋物線的定義，二是證明P的軌跡方程為拋物線的方程，可先用第一種方法，由A為定點(diǎn)，l為定直線，為我們提供了利用定義的信息，若能證明且即可．證明：如圖所示，連結(jié)PA、PN、NB．由已知條件可知：PB垂直平分NA，且B關(guān)于AN的對稱點(diǎn)為P．∴AN也垂直平分PB．則四邊形PABN為菱形．即有．則P點(diǎn)符合拋物線上點(diǎn)的條件：到定點(diǎn)A的
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