拋物線典型例題12例(含標(biāo)準(zhǔn)答案解析)-展示頁
2025-07-03 21:23本頁面
【正文】 距離與到定直線的距離相等，所以P點(diǎn)的軌跡為拋物線．典型例題六例6 若線段為拋物線的一條焦點(diǎn)弦，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，求證：．分析：此題證的是距離問題，如果把它們用兩點(diǎn)間的距離表示出來，其計(jì)算量是很大的．我們可以用拋物線的定義，巧妙運(yùn)用韋達(dá)定理，也可以用拋物線的定義與平面幾何知識，把結(jié)論證明出來．證法一：，若過F的直線即線段所在直線斜率不存在時(shí)，則有,．若線段所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則此直線為：，且設(shè)．由得： ① ②根據(jù)拋物線定義有：則請將①②代入并化簡得：證法二：如圖所示，設(shè)、F點(diǎn)在C的準(zhǔn)線l上的射影分別是、且不妨設(shè)，又設(shè)點(diǎn)在、上的射影分別是A、B點(diǎn)，由拋物線定義知，又∽，即故原命題成立．典型例題七例7 設(shè)拋物線方程為，過焦點(diǎn)F的弦AB的傾斜角為，求證：焦點(diǎn)弦長為．分析：此題做法跟上題類似，也可采用韋達(dá)定理與拋物線定義解決問題．證法一：拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的弦AB所在的直線方程為：由方程組消去y得：設(shè)，則又即證法二：如圖所示，分別作、垂直于準(zhǔn)線l．由拋物線定義有：于是可得出：故原命題成立．典型例題八例8 已知圓錐曲線C經(jīng)過定點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），對應(yīng)于該焦點(diǎn)的準(zhǔn)線為，過焦點(diǎn)F任意作曲線C的弦AB，若弦AB的長度不超過8，且直線AB與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，求（1）AB的傾斜角的取值范圍．（2）設(shè)直線AB與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)，求CD中點(diǎn)M的軌
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