橢圓資料方程典型例題20例含標準答案資料-文庫吧資料
2025-06-28 01:11本頁面
【正文】 ：已知一點求直線，關鍵是求斜率，故設斜率為，利用條件求．解法一：設所求直線的斜率為，則直線方程為．代入橢圓方程，并整理得．由韋達定理得．∵是弦中點，∴．故得．所以所求直線方程為．分析二：設弦兩端坐標為、列關于、的方程組，從而求斜率：．解法二：設過的直線與橢圓交于、則由題意得①－②得． ⑤將③、④代入⑤得，即直線的斜率為．所求直線方程為．說明：（1）有關弦中點的問題，主要有三種類型：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點軌跡；過定點的弦中點軌跡．（2）解法二是“點差法”，解決有關弦中點問題的題較方便，要點是巧代斜率．（3）有關弦及弦中點問題常用的方法是：“韋達定理應用”及“點差法”．有關二次曲線問題也適用．典型例題七例7 求適合條件的橢圓的標準方程．（1）長軸長是短軸長的2倍，且過點；（2）在軸上的一個焦點與短軸兩端點的聯(lián)機互相垂直，且焦距為6．分析：當方程有兩種形式時，應分別求解，如（1）題中由求出，在得方程后，不能依此寫出另一方程．解：（1）設橢圓的標準方程為或．由已知． ①又過點，因此有或． ②由①、②，得，或，．故所求的方程為或．（2）設方程為．由已知，所以．故所求方程為．說明：根據(jù)條件求橢圓的標準方程的思路是“選標準，定參數(shù)”．關鍵在于焦點的位置是否確定，若不能確定，應設方程或．典型例題八例8 橢圓的右焦點為，過點，點在橢圓上，當為最小值時，求點的坐標．分析：本題的關鍵是求出離心率，把轉(zhuǎn)化為到右準線的距離，從而得最小值．一般地，求均可用此法．解：由已知：，．所以，右準線．過作，垂足為，交橢圓于，故．顯然的最小值為，即為所求點，因此，且在橢圓上．故．所以．說明：本題關鍵在于未知式中的“2”的處理．事實上，如圖，即是到右準線的距離的一半，即圖中的，問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點，使到的距離與到右準線距離之和取最小值．典型例題九例9 求橢圓上的點到直線的距離的最小值．分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點到直線的距離建立三角函數(shù)關系式，求出距離的最小值．解：橢圓的參數(shù)方程為設橢圓上的點的坐標為，則點到直線的距離為．當時，．說明：當直接設點的坐標不易解決問題時，可建立曲線的參數(shù)方程．典型例題十例10設橢圓的中心是坐標原點，長軸在軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上的點的距離等于的點的坐標．分析：本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式
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