拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)-文庫(kù)吧資料
2024-07-27 22:12本頁(yè)面
【正文】 ∵拋物線的焦點(diǎn)為F（，0），∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x=my+，代入拋物線方程，得y22pmyp2=0.設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，則yy2是該方程的兩根，∴y1y2=p2.∵BC∥x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=上，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，y2）.∴直線OC的斜率為k=，即k也是直線OA的斜率.∴直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.A、B是拋物線y2=2px(p0)上的兩點(diǎn)，滿足OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.求證：（1）A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積分別為定值；（2）直線AB經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).證明（1）設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，則y12=2pxy22=2px2.∴OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0，y12y22=4p2x1x2=4p2圖5由拋物線的定義有：∵ABDC是直角梯形即為圓的半徑，而準(zhǔn)線過(guò)半徑MH的外端且與半徑垂直，故本題得證。證明：如圖5，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作AC、BD垂直于，垂足分別為C、D。解析：拋物線的準(zhǔn)線為：y= 1，焦點(diǎn)F（0，1），記P在直線y= 1上的射影為Q，則y=|PQ|1=|PF|1，|PA|+y=|PA|+|PF|1，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求|PA|+|PF|的最小值，易見(jiàn)：|PA|+|PF|≥|AF|=3，當(dāng)且既當(dāng)F、P、A共線時(shí)等號(hào)成立，故：|PA|+y的最小值為2。顯然，連結(jié)AF交曲線于P點(diǎn)，則所求最小值為，即為。解：（1）如圖3，易知拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線是由拋物線的定義知：點(diǎn)P到直線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離。解：(1)因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，并且p/2=2，p=4， 所以拋物線的方程是x2=8y(2)由題意，焦點(diǎn)應(yīng)是直線3x4y12=0與x軸或y軸的交點(diǎn)， 即A（4，0）或 B（0，3）當(dāng)焦點(diǎn)為A點(diǎn)時(shí)，拋物線的方程是y2=16x當(dāng)焦點(diǎn)為B點(diǎn)時(shí)，拋物線的方程是x2=12y(3) 當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸的正半軸上時(shí)，把A（3，2）代入x2 =2py，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上時(shí) 得 p= 把A（3，2）代入y2 = 2px，得 p=∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 =y或y2 = x例3. 設(shè)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。（2）對(duì)稱性：這個(gè)拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，. （3）頂點(diǎn)：拋物線和它的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)，這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)。拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)一、拋物線定義,定直線l 叫做拋物線的準(zhǔn)線想一想: 定義中的定點(diǎn)與定直線有何位置關(guān)系?點(diǎn)F不在直線L上,即過(guò)點(diǎn)F做直線垂直于l于F，|FK|=P則P0求拋物線的方程解：設(shè)取過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，線段KF的中垂線y軸 設(shè)︱KF︱= p 則F（），l：x = 。設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)M（X，Y）定義可知 |MF|=|MN| 即： 化簡(jiǎn)得 y2 = 2px（p＞0）二、標(biāo)準(zhǔn)方程把方程 y2 = 2px（p＞0）叫做拋
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