小學(xué)奧數(shù)之排列組合問題-文庫吧資料
2025-03-30 03:08本頁面
【正文】 一粒，共有多少種不同的吃法？【解析】 如圖：○○|○○○○|○○○○，將10粒糖如下圖所示排成一排，這樣每兩顆之間共有9個空，從頭開始吃，若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線隔開表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九個空中畫兩條豎線，一共有種方法．【例 17】 某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個成人和個兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，那么他們?nèi)顺俗@三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？【解析】 由于有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，所以兒童不能乘坐船．⑴若這人都不乘坐船，則恰好坐滿兩船，①若兩個兒童在同一條船上，只能在船上，此時船上還必須有個成人，有種方法；②若兩個兒童不在同一條船上，即分別在兩船上，則船上有個兒童和個成人，個兒童有種選擇，個成人有種選擇，所以有種方法．故人都不乘坐船有種安全方法；⑵若這人中有人乘坐船，這個人必定是個成人，有種選擇．其余的個成人與個兒童，①若兩個兒童在同一條船上，只能在船上，此時船上還必須有個成人，有種方法，所以此時有種方法；②若兩個兒童不在同一條船上，那么船上有個兒童和個成人，此時個兒童和個成人均有種選擇，所以此種情況下有種方法；故人中有人乘坐船有種安全方法．所以，共有種安全乘法．【例 18】 從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽．在下列條件下，分別有多少種選法？⑴恰有名女生入選；⑵至少有兩名女生入選；⑶某兩名女生，某兩名男生必須入選；⑷某兩名女生，某兩名男生不能同時入選；⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人。根據(jù)加法原理，小紅一共有(種)不同的吃法．還可以用擋板法來解這道題，塊糖有個空，選個空放擋板，有(種)不同的吃法。我們記從左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒： ○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不難知曉,每一種插入方法對應(yīng)一種吃法,而9個間隙,每個間隙可以插人也可以不插入,且相互獨立，故共有29=512種不同的插入方法,即512種不同的吃法?！纠?15】 8個人站隊，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？【解析】 冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個人選定了三個位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇．小慧和大智不能相鄰的互補事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個條件的站法總數(shù)為：（種）同時滿足第一、三個條件，滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數(shù)為：（種）因此同時滿足三個條件的站法總數(shù)為：（種）。(2007年“迎春杯”高年級組決賽)【解析】 這是一道組合計數(shù)問題．由于題目中僅要求，至少各出現(xiàn)一次，沒有確定，出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進行統(tǒng)計，也可以從反面想，從由組成的五位數(shù)中，去掉僅有個或個數(shù)字組成的五位數(shù)即可．(法1)分兩類：⑴，中恰有一個數(shù)字出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個)；⑵，中有兩個數(shù)字各出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個)．符合題意的五位數(shù)共有(個)．(法2)從反面想，由，組成的五位數(shù)共有個，由，中的某個數(shù)字組成的五位數(shù)共有個，由，中的某個數(shù)字組成的五位數(shù)共有個，所以符合題意的五位數(shù)共有(個)?！纠?12】 某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個階段進行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個小組，每組6人，分別進行單循環(huán)賽；第二階段：將8個小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成個小組，每組人，分別進行單循環(huán)賽；第三階段：由4個小組產(chǎn)生的個第名進行場半決賽和場決賽，確定至名的名次．問：整個賽程一共需要進行多少場比賽？【解析】 第一階段中，每個小組內(nèi)部的個人每人要賽一場，組內(nèi)賽場，共個小組，有場；第二階段中，每個小組內(nèi)部人中每人賽一場，組內(nèi)賽場，共個小組，有場；第三階段賽場．根據(jù)加法原理，整個賽程一共有場比賽。（4）考慮參加數(shù)學(xué)小組的是王紅且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時的選法，此時的問題相當(dāng)于從3個男同學(xué)中選出2人參加兩個不同的小組，從3個女同學(xué)中選出1人參加美術(shù)小組時的選法。（3）考慮參加數(shù)學(xué)小組的是王紅時的選法，此時的問題相當(dāng)于從3個男同學(xué)中選出2人，從3個女同學(xué)中選出1人，3個人參加3個小組時的選法。（2）在四個人確定的情況下，參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時有2321=12種選法。在四個人確定的情況下，參加四個不同的小組有4321=24種選法?！眷柟獭?現(xiàn)有男同學(xué)3人，女同學(xué)4人(女同學(xué)中有一人叫王紅)，從中選出男女同學(xué)各2人，分別參加數(shù)學(xué)、英語、音樂、美術(shù)四個興趣小組：(1)共有多少種選法?(2)其中參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有多少種?(3)參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅的選法有多少種?(4)參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅，且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有多少種?【解析】 （1）從3個男同學(xué)中選出2人，有=3種選法?！眷柟獭?由個不同的獨唱節(jié)目和個不同的合唱節(jié)目組成一臺晚會，要求任意兩個合唱節(jié)目不相鄰，開始和最后一個節(jié)目必須是合唱，則這臺晚會節(jié)目的編排方法共有多少種？【解析】 先排獨唱節(jié)目，四個節(jié)目隨意排，是個元素全排列的問題，有種排法；其次在獨唱節(jié)目的首尾排合唱節(jié)目，有三個節(jié)目，兩個位置，也就是從三個節(jié)目選兩個進行排列的問題，有(種)排法；再在獨唱節(jié)目之間的個位置中排一個合唱節(jié)目，有種排法．由乘法原理，一共有(種)不同的編排方法．【小結(jié)】排列中，我們可以先排條件限制不多的元素，然后再排限制多的元素．如本題中，獨唱節(jié)目排好之后，合唱節(jié)目就可以采取“插空”的方法來確定排法了．總的排列數(shù)用乘法原理．把若干個排列數(shù)相乘，得出最后的答案。因為貝貝和妮妮可以交換位置，所以貝貝和妮妮相鄰的排列方式有242=48(種)；貝貝和妮妮不相鄰的排列方式有12048=72（種）。【解析】 五位同學(xué)的排列方式共有54321=120（種）。【鞏固】 五位同學(xué)扮成奧運會吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目?！纠?8】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的．”從這個回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？【解析】 這道題乍一看不太像是排列問題，這就需要靈活地對問題進行轉(zhuǎn)化．仔細審題，已知“甲和乙都未拿到冠軍”，而且“乙不是最差的”，也就等價于人排成一排，甲、乙都不
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