[理學(xué)]線性代數(shù)第二章-文庫吧資料
2025-01-25 15:17本頁面
【正文】 78 三、 基本理論： 1 、 初等 矩陣 的 性質(zhì) 2 、 判斷矩陣可逆的充分必要條件 3 、 用行初等變換判斷 矩陣 是否可逆 4 、 用行初等變換求可逆 矩陣 的逆矩陣 5 、求解矩陣方程 二、 基本 運(yùn)算 ： 1 、 矩陣加、減法，矩陣的數(shù)乘 . 2 、 矩陣的乘法 ，分塊矩陣的乘法 . 79 練習(xí) ： 2, 5, 8, 13, 14(1)(4), 15, 17, 18(4), 19(2), 22, 23. 作業(yè) ： 1(1)(3), 3(1)(2)(4), 4, 11, 12, 18(1)(3), 20. 。 用 P(i(k), j)右乘一矩陣 , 相當(dāng)于對該矩陣施行了初等列變換 kcj +ci ． 49 證 1) 僅證明列變換的情形，行變換的情形同理可證． 設(shè) A =( aij)m ? n, P ( i , j ) 的階數(shù)為 n ．則 ( , )i j ni j nm m i m j m na a a aa a a aA P i ja a a a1 1 1 1 12 1 2 2 21101101????????????????????????????????????? j i nj i nm m j m i m na a a aa a a aa a a a11 1 1 121 2 2 21???????????50 11 1 111ini i i i nm m i m na a aka ka kaa a a??????? ?????????? ( ( ) )11 1 11111ini i i i nm mi mna a aP i k A a a aka a a??????????? ?????????????? ?? 2) 僅證明列變換的情形 , 行變換的情形同理可證． 51 3) 僅證明行變換的情形，列變換的情形同理可證． 設(shè) A =( a ij ) m ? n , P ( i ( c ), j ) 為一 m ? m 級方陣，則 52 ( ( ) , )11 12 11212121111ni i i nj j j nm m m na a aa a aP i k j Aa a aka a a??????????????????????????????????????????? ??11 12 1121 1 2 212ni i i ni j i j i n j nm m m na a aa a aka a ka a ka aa a a?????????? ? ???????53 例 1 設(shè) 11 12 1321 22 2331 32 33a a aA a a aa a a???????????，( , )1 0 02 3 0 0 10 1 0P???????????， ( ( ) )1003 3 0 1 00 0 3P???????????，( ( ) , )1003 3 2 0 1 3001P??????????? 54 則 ( , )11 12 1321 22 2331 32 331 0 02 3 0 0 10 1 0a a aAP a a aa a a?? ???? ????? ???? ?????? ( ( ) )a a aAP a a aa a a11 12 1321 22 2331 32 331003 3 0 1 00 0 3?? ???? ??????? ??????11 13 1221 23 2231 33 32a a aa a aa a a?????????a a aa a aa a11 12 1321 22 2331 32 33333?????????55 ( ( ) , )a a aP A a a aa a a11 12 1321 22 2331 32 331003 3 2 0 1 3001??????????????????? ?? a a aa a a a a aa a a11 12 1321 31 22 32 22 2331 32 333 3 3????? ? ? ???( ( ) , )11 12 1321 22 2331 32 331003 3 2 0 1 3001a a aA P a a aa a a?? ???? ????? ???? ?????? 11 12 12 1321 22 22 2331 32 32 33333a a a aa a a aa a a a????????? ???而 ， 56 性質(zhì) 如 P是一個(gè)初等矩陣 , 則 P是可逆的 , 并且P?1與 P是同型的初等矩陣．具體地有 (i) ( , ) 1P i j ? ( , )P i j? ； (ii ) ( ( ) ) 1P i c ? ( ( ) )1P i c ?? ； (ii i) ( ( ) , ) 1P i c j ? ( ( ) , )P i c j?? ． 57 證明 . （ 1 ） 設(shè) P ( i , j ) 的階數(shù)為 n ．則 ( , ) ( , )P i j P i j110 1 0 11 0 1 011? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 1111???????????????????????, 故 P ( i , j ) 1 = P ( i , j ) . 58 （ 2 ） 設(shè) P ( i ( c ) ) 的階數(shù)為 n ，且 c ? 0 ，則 ( ( ) ( ( ) )P i c P i c c c111111??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?,111?????????????????同理， P ( i ( c － 1 ) ) P ( i ( c ) ) ＝ I ， 故 P ( i ( c － 1 ) ) = P ( i ( c ) ) . 59 （ 3 ） 設(shè) P ( i ( c ), j ) 為一 n ? n 級方陣，則 ( ( ) , ) ( ( ) , )P i c j P i c jcc11111111? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1111???????????????????????, 故 P ( i ( c ) , j ) 1 = P ( i ( c ) , j ) . 同理， P ( i ( c ) , j ) P ( i ( c ) , j ) ＝
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