【正文】 ??????kA96386424321問(wèn) k 何值時(shí)，有 3)(?2)(?1)( ??? ARARAR解 對(duì)矩陣施行初等行變換，將其變成行階梯形，有 ???????????kA96386424321????????????? ?? ??1202200004321113232krrrr1)( ?AR2)( ?AR12?k當(dāng) 時(shí)， 12?k當(dāng) 時(shí)， 3)( ?AR在任何時(shí)候都不可能有 線性方程組的求解 線性方程組的基本概念 m n nxxx , 21 ?含 的線性方程組的一般形式為 個(gè)方程 個(gè)未知量 ???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa????????????22112222212111212111若記 ,212222111211???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA??????????????????????mbbbb?21???????????????mmnmmnnbbbaaaaaaaaaB????????21212222111211則稱(chēng)矩陣 A 為系數(shù)矩陣 , 矩陣 ),( bAB ? 為增廣矩陣， 稱(chēng)矩陣 b 為常數(shù)項(xiàng)矩陣。 （ 2）設(shè) A 是 nm? 矩陣，若 mAR ?)( ，則稱(chēng) A 為行滿秩矩陣；若 nAR ?)( ，則稱(chēng) A 列滿秩矩陣。 nm? k knkmCCn n A A一個(gè) 矩陣的 階子式共有 個(gè)。另外，用初等變換法求逆矩陣時(shí)，不必先考慮逆矩陣是否存在， 只要注意在進(jìn)行初等變換的過(guò)程中，如果與 中有零行，就可斷定矩陣 等價(jià)的矩陣 A 不可逆。 可以表示為 求逆矩陣的初等變換法 2n )1( ?n n求逆矩陣通常有兩種方法：伴隨矩陣法和初等變換法，求 階行列式，當(dāng) 個(gè) 伴隨矩陣要計(jì)算 較大時(shí) 計(jì)算量非常大，所以在實(shí)際應(yīng)用中，伴隨矩陣僅作為證明矩陣可逆條件的鋪墊，只有較簡(jiǎn)單的二階矩陣用伴隨矩陣求逆，其余的多采用初等變換法。 EAPPPP ll ?? 121 ?HAPPPP ll ?? 121 ?若矩陣 A 可逆，則由定理 ，上述行最簡(jiǎn)形矩陣 可逆， 從而矩陣 必為單位矩陣 E ，即 H HA 通過(guò)一系列初等行變換化為單位矩陣 E反之，若矩陣 A 通過(guò)一系列初等行變換化為單位矩陣 E即存在 n 階初等矩陣 lPPP , 21 ?，使得 EAPPPP ll ?? 121 ?因?yàn)槌醯染仃囀强赡娴?，所以它們的乘積 121 PPPP ll ?? 也可逆， 于是 1211 PPPPA il ??? ?即 n 階矩陣 A 可逆。 B A證 設(shè)矩陣 是通過(guò)對(duì) 施行一次初等行變換而得到的， ( , )E i j ( ( ))Eik ( , ( ) )E i j k則存在一 個(gè)相應(yīng)的初等矩陣 或 或 B ( , )E i j A? ( ( ) )B E i k A?或 或 使得 n A定理 階矩陣 可逆的充分必要條件是它可以通過(guò)初等 變換化為單位矩陣。 B A A解 作初等行變換， 左乘 表示對(duì) C BA BA 表示對(duì) 左乘 作初等行變換 ?CBA??????????????1000100001000013k??????????????1000010001000012k??????????????1000010000100011k???????????????1000100001000013k??????????????1000010001000121kk???????????????1000100010001321kkk1111)( ???? ? CBAC B A????????????????1000010000100011k???????????????1000010001000012k??????????????? 1000100001000013k??????????????????1000100010001321kkk???????????????1000010000100011kA???????????????1000010001000012kB???????????????1000100001000013kC定理 可逆矩陣經(jīng)過(guò)初等變換后仍為可逆矩陣。 ( , ( ) )AE i j k A j k i倍加到第 表示將矩陣 第 列的 列上去。 A mn? AA mA A定理 設(shè) 的左邊乘上一個(gè)相應(yīng)的 階初等矩陣；對(duì) 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 是一個(gè) 矩陣，對(duì) 施行一次初等行變換， 相當(dāng)于在 的右邊乘上一個(gè) 相應(yīng)的 ( ( ))E i k A A i k表示將矩陣 的第 行乘以非零數(shù) 。先看下面的矩陣乘法運(yùn)算。 11( ( ) ) ... .. ..11E i k k???????????????????????11 ... .. ..( , ( ) )1 .. ...1kE i j k???????????????????????E j k i（ 3）把矩陣 的第 行的 倍加到第 行 （或第 i列的 k 倍加到第 j 列上去） ，因此初等矩陣都可逆； 2. 初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為初等矩陣； 初等矩陣具有以下性質(zhì)： 1),(d e t ??jiE0))((d e t ?? kkiE1))(,(d e t ?kjiE),(),( jiEjiE T ?))(())(( kiEkiE T ?))(,())(,( kijEkjiE T ?3. 初等矩陣的逆矩陣仍是同類(lèi)初等矩陣 1 ( , ) ( , )E i j E i j? ?1 1( ( ) ) ( ( ) )E i k E ik? ?1 ( , ( ) ) ( , ( ) )E i j k E i j k? ?? 初等變換與初等矩陣關(guān)系 矩陣的初等變換是一種運(yùn)算，而初等矩陣是一些矩陣，有著極其密切的關(guān)系，它們是用不同的語(yǔ)言來(lái)描述兩個(gè)矩陣之間的同一種關(guān)系。對(duì)應(yīng)于三類(lèi)初等行（列）變換，初等矩陣有三種： 經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為 初 E ,ij ,ij（ 1）交換矩陣 第 兩行（或交換第 兩列）。 ???????????????1129118711630A???????????????? ?? ?163018711129131 rr???????????????1129118711630AA例 用初等變換化矩陣 為行最簡(jiǎn)形矩陣和標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。 ????????????010030105001D????????????010030105001D ?? ?? ?? 24 14 35cc ccD D對(duì)矩陣 繼續(xù)做初等列變換，則矩陣 可進(jìn)一步被簡(jiǎn)化為 ??????????010000100001定義 rmnEOFOO???????的矩陣，即 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0F???????????????則稱(chēng) rmnEOOO??????為該矩陣的 等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 。 矩陣 C的下方元素全是零，豎線后面第一個(gè)元素為非零元；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即非零行的行數(shù)。 例 ： ?????????????703182127321?? ?? ?? 13 12 2rr rr??????????????1431064507321?? ?? ? 32 rr??????????????6450143107321?? ?? ? 23 5 rr?????????????761900143107321???????????????? ??????????41001431073211913r 矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 A BA B A B定義 如果矩陣 經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣 則稱(chēng)矩陣 與矩陣 等價(jià)，記作 ≌ ， 等價(jià)關(guān)系滿足下列性質(zhì)： A B B A2 對(duì)稱(chēng)性：若 ≌ ， 則 ≌ A B B C B C 3 傳遞性：若 ≌ ， ≌ ， 則 ≌ A A≌ 1 反身性： ???????????????7341417319623A ?? ?? ? 31 rr?? ?? ?? 13 12 3rr rr???????????????303100314107341?? ?? ? 23 10 rr??????????????014300314107341???????????????7341417319623A對(duì)矩陣 施行如下一些初等變換 ????????????????303100314107341B???????????????014300314107341C矩陣 A， B， C 等價(jià) ??????????????9623