【正文】 A且 ?x ?? 有 xTAx 0. 可逆矩陣 : AB = BA = E. 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點 ? 二 . 矩陣 矩 陣 的 乘 積 向量組之間的線性表示 (系數(shù)矩陣 ) 線性變換的合成 (z = By = BAx) 二次型的矩陣表達式 ( f(x) = xTAx) 不滿足消去律 結(jié)合律的妙用 不滿足交換律 線性方程組的 矩陣表達式 (Ax = b) 兩組基之間的聯(lián)系 (過渡矩陣 ) 有非平凡的零因子 應(yīng)用 定義 性質(zhì) (??T)k (P?1AP)k 向量的內(nèi)積 ( ??, ?? = ?T? ) 實際問題 (背景 ) 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點 ? 二 . 矩陣 值得注意的現(xiàn)象 : (1) AB和 BA未必相等 . 例如 : (1 2) = 11, 3 4 3 4 (1 2) = 3 6 4 8 . 而 又如 : = 1 1 0 1 1 2 3 4 4 6 3 4 , 而 = 1 1 0 1 1 2 3 4 1 3 3 7 . 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點 ? 二 . 矩陣 值得注意的現(xiàn)象 : (1) AB和 BA未必相等 . (2) (AB)2和 A2B2未必相等 . 例如 : A = 1 1 0 0 , , B = 1 0 1 0 1 1 0 0 2 0 0 0 , A2B2 = AB = 1 0 1 0 = 2 0 0 0 4 0 0 0 . 而 (AB)2 = 2 0 0 0 = 1 1 0 0 1 1 0 0 = A, A2 = 1 1 0 0 = 1 0 1 0 1 0 1 0 = B, B2 = 1 0 1 0 = 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點 ? 二 . 矩陣 值得注意的現(xiàn)象 : (1) AB和 BA未必相等 . (2) (AB)2和 B2A2未必相等 . (3) (A + B)2和 A2 + 2AB + B2未必相等 , (A + B)(A ? B)和 A2 ? B2未必相等 . 例如 : A = 1 1 0 0 , , B = 1 0 1 0 ?1 2 0 1 , (A+B)(A?B) = 0 1 ?1 0 . 而 A2 ? B2 = 2 1 1 0 5 2 2 1 , (A + B)2 = 2 1 1 0 = 6 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 = 4 0 0 0 + 而 A2 + 2AB + B2 = + , 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點 ? 二 . 矩陣 值得注意的現(xiàn)象 : (1) AB和 BA未必相等 . (4) ―AB = O‖推不出“ A = O或 B = O‖. (2) (AB)2和 B2A2未必相等 . (3) (A + B)2和 A2 + 2AB + B2未必相等 , (A + B)(A ? B)和 A2 ? B2未必相等 . 例如 : (1 0) = 0, 0 2 又如 : = 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 . 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點 ? 二 . 矩陣 值得注意的現(xiàn)象 : (1) AB和 BA未必相等 . (4) ―AB = O‖推不出“ A = O或 B = O‖. (5) ―AB = AC且 A ? O‖推不出“ B = C‖. (2) (AB)2和 B2A2未必相等 . (3) (A + B)2和 A2 + 2AB + B2未必相等 , (A + B)(A ? B)和 A2 ? B2未必相等 . 例如 : (1 0) 0 2 = 0 = (1 0) 0 3 , 但 , 0 2 ? 0 3 又如 : = 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 , 1 0 0 0 0 0 0 3 = . 0 0 0 2 0 0 0 3 但 ? 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點 ? 二 . 矩陣 逆矩陣 n 階 方 陣 A 可 逆 的 充 要 條 件 定義 : AB=BA=I 存在方陣 B使 AB=I 存在方陣 B使 BA=I |A| ? 0 Ax = ? 只有零解 Ax = b 有唯一解 秩 (A) = n A的行 (列 )向量組 線性無關(guān) A與 I相抵 (等價 ) A為有限多個初等 矩陣的乘積 A的特征值全非零 計算 A?1 利用 伴隨矩陣 利用 初等變換 (A?1)?1 = A 唯一性 (A?1)m = (Am)?1 (AT)?1 = (A?1)T (kA)?1 = k?1A?1 (AB)?1 = B?1A?1 |A?1| = |A|?1 若 A可逆 , 則 秩 (AB) = 秩 (B) 秩 (CA) = 秩 (C) ?是 A的特征值 ? ??1是 A?1的特征值 n 階 可 逆 矩 陣 的 性 質(zhì) 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點 ? 二 . 矩陣 例 7. 求下列方陣的逆矩陣 . (1) A = 1 2 3 4 , 1 2 3 2 2 1 3 4 3 (2) B = . 解 : (1) A?1 = |A| 1 A* = ? 2 1 4 ?2 ?3 1 . (2) |B| = 2 ? 0, B?1 = |B| 1 B* B11 = (?1)1+1 2 1 4 3 = 2, B21 =6, B31 = ?4, B12 = ?3, B22 = ?6, B32 = 5, B13 = 2, B23 = 2, B33 = ?2. = 2 1 2 6 ?4 ?3 ?6 5 2 2 ?2 . 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點 ? 二 . 矩陣 設(shè) A可逆 , 則 A可以經(jīng)過有限次初等 行 變換化為 行 最簡形 ——單位矩陣 E. A ? ? ? ? ? … ? ? ? E (A E) ? ? ? ? ? … ? ? ? (E ?) P1(A E) P2P1(A E) Pl1… P2P1(A E) Pl Pl1… P2P1(A E) P1A P2P1A Pl1… P2P1A Pl Pl1… P2P1A (Pl Pl1… P2P1A, Pl Pl1… P2P1) ? = A?1 ? 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點 ? 二 . 矩陣 例 8. 設(shè) A = , 求 A?1. 1 2 3 1 0 0 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1 解 : 初等 行 變換 1 0 0 1 3 ?2 0 1 0 ?3/2 ?3 5/2 0 0 1 1 1 ?1 故 A?1 = 1 3 ?2 ?3/2 ?3 5/2 1 1 ?1 . 1 2 3 2 2 1 3 4 3 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點 ? 二 . 矩陣 設(shè) A可逆 , 則 A可以經(jīng)過有限次初等 行 變換化為 行 最簡形 ——單位矩陣 E. 下面用初等變換解矩陣方程 AX = B. 注意到 X = A?1B. (A B)? ? ? ? ? … ? ? ? (E ?) P1(A B) P2P1(A B) Pl1… P2P1(A B) Pl Pl1… P2P1(A B) (Pl Pl1… P2P1A, Pl Pl1… P2P1B) ? = A?1B = X ? 分塊矩陣 初等 行 變換 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點 ? 二 . 矩陣 加法 逆矩陣 乘法 數(shù)乘 轉(zhuǎn)置 行列式 用初等行變換求 A?1 (A, E)?(E, A?1) 解 AX = B (A, B)?(E, A?1B) Ax = b的增廣矩陣 (A, b) 向量組 ?矩陣 矩陣的相似標準形 (Jordan標準形 ) 矩陣的等價標準形 Em ?n (r) 分 塊 矩 陣 運 算 應(yīng) 用 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點 ? 二 . 矩陣 矩 陣 的 分 塊 運 算 注 : 分塊之前 A與 B是同類型的 , 分塊之后 , 與 Aij對應(yīng)的 Bij是 同類型的 (否則加不起來 ). 加法 逆矩陣 乘法 數(shù)乘 轉(zhuǎn)置 行列式 B = B11 … B1t … … … Bs1 … Bst A + B = A11+B11 … A1t+B1t … … … As1+Bs1 … Ast+Bst A = A11 … A1t … … … As1 … Ast , 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點 ? 二 . 矩陣 矩 陣 的 分 塊 運 算 加法 逆矩陣 乘法 數(shù)乘 轉(zhuǎn)置 行列式 k 為一個數(shù) kA = kA11 … kA1t … … … kAs1 … kAst A = A11 … A1t … … … As1 … Ast , Easy! 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點 ? 二 . 矩陣 矩 陣 的 分 塊 運 算 注 : 分塊之前 A的列數(shù)等于 B的 行數(shù) 。 (A + B)T = AT + BT。 (kA)B = k(AB) 冪 Am A是方陣 , m是正整數(shù) A1 = A, Ak+1 = AkA AkAl = Ak+l。 A(B+C) =AB+AC。 k(A + B) = kA + kB。 A + (?A) = O 數(shù)乘 kA k是一個數(shù) 用 k乘 A的每一個元素 k(lA) = (kl)A。 (A + B) + C = A + (B + C)?！?線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》復(fù)習(xí)要點 張小向 東南大學(xué)數(shù)學(xué)系 Email: 版本號 : 一 . 行列式 二 . 矩陣 三 . 向量 四 . 線性方程組 六 . 二次型 七 . 綜合與提高 五 . (小結(jié) )初等變換在線性代數(shù)中的地位 內(nèi)容提要 一 . 行列式 ? 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點 一 . 行列式 行 列 式 定義 性質(zhì) 計算 方程組 秩 秩 極大無關(guān)組 線性相關(guān)性 特征多項式 伴隨矩陣 逆矩陣 應(yīng)用 克拉默法則 面積 /體積 矩 陣 向量組 叉積 /混合積 幾 何 ? 一 . 行列式 行 列 式 的 定 義 低 階 一 般 一階