【正文】 (2)求 A. 證明 (1) (?) 因?yàn)?A是實(shí)對(duì)稱矩陣 , ?和 ?3是對(duì)應(yīng)于 A (?) 因 ?=1是 A的二重特征值 , 故 A有兩個(gè) 線性無(wú)關(guān)的特征向量 ?1, ?2對(duì)應(yīng)于 ?=1. 由于 ?1, ?2, ?3線性無(wú)關(guān) , 而 ?, ?1, ?2, ?3 線性相關(guān) , 可設(shè) ? =k1?1+k2?2+k3?3, 故 ? =k1?1+k2?2是對(duì)應(yīng)于 ?=1的特征向量 . 由 ??3, ?? = ??3, ?1? = ??3, ?2? = 0得 k3=0, 的不同特征值的特征向量 , 所以 ???3. 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 解 (2): 由 (1)可知對(duì)應(yīng)于 ?=1兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的 將正交向量組 ?1, ?2, ?3單位化得正交矩陣 例 15. 設(shè) 3階實(shí)對(duì)稱矩陣 A的特征多項(xiàng)式為 (?–1)2(?–10), 且 ?3 = [1, 2, ?2]T是對(duì)應(yīng)于 ?=10的特征向量 . (1)證明 : ?是對(duì)應(yīng)于 ?= 1的特征向量 ? ?與 ?3正交 。 (kA)T = kAT。 (A+B)C =AC+BC。 (k + l)A = kA + lA。 (2) det(?1, …, ?j+?j, …, ?n) = det(?1, …, ?j, …, ?n) + det(?1, …, ?j, …, ?n). 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 推論 . 若行列式 D 中有兩列元素成比例 , 則 D = 0. 性質(zhì) 3. 把行列式的某一列的 k倍加到另一列 上去 , 行列式的值不變 . a11 … ( a1i + ka1j) … a1j … a1n a21 … (a2i + ka2j) … a2j … a2n … … … … … … … an1 … ( ani + kanj) … anj … ann = a11 … a1i … a1j … a1n a21 … a2i … a2j … a2n … … … … … … … an1 … ani … anj … ann + a11 … ka1j … a1j … a1n a21 … ka2j … a2j … a2n … … … … … … … an1 … kanj … anj … ann 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 例 1. 1 2 ?4 ?2 2 1 ?3 4 ?2 ?(?2) 1 0 ?4 = ?2 6 1 ?3 10 ?2 1 0 0 = 2?(?7) ?2 3 1 ?3 5 2 1 0 0 = ?14 ?2 0 1 ?3 ?1 2 1 0 0 = 14 ?2 1 0 ?3 2 ?1 = ?14. ?4 1 0 0 = ?2 6 ?7 ?3 10 ?14 ?(?3) 注 : 本題也可以用定義或?qū)蔷€法則計(jì)算 . 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 例 2. 設(shè) D = a11 … a1m am1 … amm D1 = … … , 證明 : D = D1D2. 證明 : 對(duì) D1施行 ci+kcj 這類(lèi)運(yùn)算 , 把 D1化為下三 角形行列式 : = p11 pm1 … pmm … . . . = p11 … pmm , b11 … b1n bn1 … bnn D2 = , … … a11 … a1m 0 … 0 … … … … … … … … , am1 … amm 0 … 0 c11 … c1m b11 … b1n 1 … m bn1 … bnn a11 … a1m am1 … amm D1 = … … 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 對(duì) D2施行 ci+kcj 這類(lèi)運(yùn)算 , 把 D2化為下三角形行列式 : b11 … b1n bn1 … bnn D2 = … … = q11 qn1 … qnn … . . . = q11 … qnn , 于是對(duì) D的前 m列施行上述 ci+kcj 運(yùn)算 , 再對(duì) D的后 n列 施行上述施行 ci+kcj 運(yùn)算 , 可得 : = p11 … pmm q11 … qnn =D1D2. a11 … a1m 0 … 0 … … … … … … … … D = am1 … amm 0 … 0 c11 … c1m b11 … b1n 1 … m bn1 … bnn . p11 pm1 … pmm … … … … = . . 0 dn1 … dnm qn1 … qnn d11 … d1m q11 . . . 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 性質(zhì) 4. 設(shè) A, B為同階方陣 , 則 |AB| = |A||B|. 性質(zhì) 5. 設(shè) A方陣 , 則 |AT| = |A| . 注 : 根據(jù)方陣的性質(zhì) 5, 前面幾條關(guān)于 列 的性 質(zhì)可以翻譯到 行 的情形 . 例如 : 性質(zhì) 1’. 互換行列式中的兩 行 , 行列式變號(hào) . 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) 定理 1. n階行列式 D等于它的任意一行 (列 ) 的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積 之和 . 即 D = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n = a21A21 + a22A22 + … + a2nA2n = … = an1An1 + an2An2 + … + annAnn = a11A11 + a21A21 + … + an1An1 = a12A12 + a22A22 + … + an2An2 = … = a1nA1n + a2nA2n + … + annAnn . ? 一 . 行列式 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 性質(zhì) 6. n階行列式的某一行 (列 )元素與另一 行 (列 )的對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和 為零 . 即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + … + ainAjn = 0 (i ? j) a1iA1j + a2iA2j + … + aniAnj = 0 (i ? j). 定理 n階行列式 D = |[aij]|, 則 ? aikAjk = D?ij , k=1 n ? akiAkj = D?ij . k=1 n 注 : 克羅內(nèi)克 (Kronecker)記號(hào) ?ij = 1, i = j, 0, i ? j. 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 行列式 的 計(jì)算 1. 二 , 三階行列式 —對(duì)角線法則 . 2. 利用初等變換化為三角形 . (其中 n ? 2,x ? a). Dn= x a … a a x … a … … … a a … x 例 3. 計(jì)算 n階行列式 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 解 : … (?1) … x+(n?1)a a a … a a 0 x?a 0 … 0 0 0 0 x?a … 0 0 … … … … … … 0 0 0 … x?a 0 0 0 0 … 0 x?a = = [x+(n?1)a](x?a)n?1. Dn= x a … a a x … a … … … a a … x x+(n?1)a a … a x+(n?1)a x … a … … … x+(n?1)a a … x = 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 3. 按某一行 (列 )展開(kāi) —降階 . 4. 遞推 /歸納 . (未寫(xiě)出的元素都是 0). 例 4. 計(jì)算 2n階行列式 D2n = a b a b c d c d 行列式 的 計(jì)算 1. 二 , 三階行列式 —對(duì)角線法則 . 2. 利用初等變換化為三角形 . 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 解 : D2n= = a . . . . . . . . . . . . a a b b 0 c c 0 d d 0 0 d . . . … . . . . . . . . . . . . 0 a a b b c 0 c c 0 d d 0 . . . … +(?1)2n+1b . . . . . . . . . . . . a 0 0 a a b c d d 0 0 d . . . … 0 b b 0 0 c c 0 … . . . . . . . . . … … 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 = a . . . . . . . . . . . . a a b b 0 c c 0 d d 0 0 d . . . … . . . . . . . . . . . . 0 a a b b c 0 c c 0 d d 0 . . . … +(?1)2n+1b = ad D2(n?1) ? bc D2(n?1) = (ad ? bc) D2(n?1) = (ad ? bc)2D2(n?2) = (ad ? bc)3D2(n?3) = … = ( ad ? bc)n?1 D2 = (ad ? bc)n. 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 例 5. 證明 n階級(jí) (n?2)范德蒙 (Vandermonde)行列式 Dn = 1 1 … 1 a1 a2 … an a12 a22 … an2 … … … … a1n1 a2n1 … an n1 = ? (ai? aj). n? i j ? 1 Dn = 1 1 … 1 a1 a2 … an a12 a22 … an2 … … … … a1n1 a2n1 … a